ANOVA czy Kruskal-Wallis? Kiedy rangi wygrywają ze średnimi

Trzydzieści roślin, trzy grupy po dziesięć: kontrola i dwa sposoby uprawy. Po zbiorze każdą roślinę suszy się i waży. Średnie wychodzą 5,032, 4,661 i 5,526. Pytanie jest proste: czy sposób uprawy coś zmienia, czy te różnice to zwykły rozrzut?

Do takiego pytania są dwa klasyczne narzędzia. ANOVA, czyli jednoczynnikowa analiza wariancji, porównuje średnie. Test Kruskala-Wallisa porównuje rangi, bez zakładania, że dane układają się w rozkład normalny. Oba odpowiadają na to samo pytanie i na tych samych danych potrafią powiedzieć coś innego. Ten tekst przepuszcza jeden zbiór przez oba testy, a potem przez test Tukeya, który mówi, które grupy różnią się naprawdę.

Dane to nie przykład wymyślony na potrzeby artykułu. To klasyczny zbiór PlantGrowth z książki A. J. Dobson „An Introduction to Statistical Modelling” (1983), dołączony do pakietu R. Masa wysuszonych roślin, grupa kontrolna i dwa zabiegi, po dziesięć pomiarów. Każdy wynik poniżej został policzony w kalkulatorach z kategorii Statystyka. Wyniki dla oryginalnych danych zgadzają się co do ostatniej cyfry z tym, co pokazuje R: funkcje aov, kruskal.test i TukeyHSD. Warianty z pomyłką i z mniejszymi próbami to te same dane po jednej zmianie.

Te trzy linie danych można wkleić do każdego z trzech kalkulatorów i dostać dokładnie te same liczby, które padają dalej.

ANOVA i test Kruskala-Wallisa - przykład do powtórzenia w trzech kalkulatorach

Każda grupa idzie w osobną linię, z nazwą przed dwukropkiem, a pomiary rozdziela spacja. Przecinek dziesiętny jest w porządku: „4,17” to jedna wartość, a nie dwie. W kalkulatorze ANOVA wystarczy wybrać surowe pomiary, wkleić trzy linie i zostawić α = 0,05. Wynik do odczytania to F(2, 27) = 4,8461 i p = 0,0159, a niżej tabela analizy wariancji: suma kwadratów między grupami 3,7663, wewnątrz grup 10,4921, średni kwadrat błędu 0,3886.

Te same trzy linie w kalkulatorze Kruskala-Wallisa dają H = 7,9882 i p = 0,0184. Warto zajrzeć do tabeli rang: średnia ranga Zabiegu 2 to 21,40, Zabiegu 1 tylko 10,35, kontrola jest pośrodku z 14,75. Kalkulator pokazuje też, że w danych jest jedno wiązanie (dwie rośliny ważą po 4,17), więc H jest poprawione o współczynnik C = 0,9998. Bez poprawki wyszłoby 7,9865.

W kalkulatorze Tukeya znowu surowe pomiary i te same linie. Najważniejsza jest tabela par: różnica średnich, przedział, q i p. Para jest istotna, kiedy przedział nie obejmuje zera. Kalkulator sam liczy MSE z danych, więc nie trzeba przepisywać go z ANOVA.

Dlaczego nie trzy testy t zamiast jednej ANOVA

Trzy grupy to trzy pary do porównania. Każdy test t przy α = 0,05 ma 5 % szans na fałszywy alarm, a trzy niezależne testy razem już 1 - 0,95³ = 14,26 %. Przy pięciu grupach par jest dziesięć i ryzyko rośnie do 40,13 %. Dlatego kolejność jest zawsze taka sama: najpierw jeden test ogólny, ANOVA albo Kruskal-Wallis, a dopiero przy wyniku istotnym test post hoc, który trzyma łączne ryzyko na poziomie α. Na PlantGrowth ta kolejność działa podręcznikowo: test ogólny mówi „coś się różni”, Tukey i Dunn wskazują, co.

ANOVA czy Kruskal-Wallis: wyniki obok siebie

Tabela to sedno całego porównania. Pierwsze wiersze to oryginalne dane, kolejne to warianty: jedna pomyłka przy wpisywaniu, mniejsze próby, ostrzejszy poziom istotności i porównanie tylko dwóch grup. Wszędzie α = 0,05, chyba że wiersz mówi inaczej. Zielony tekst oznacza wynik istotny, czerwony brak istotnej różnicy.

Na czystych danych oba testy mówią to samo i wskazują tę samą parę grup. Różnią się szczegółami: ANOVA daje odrobinę mniejsze p i większą siłę efektu, bo korzysta z pełnej informacji o wartościach, a nie tylko z ich kolejności. Zupełnie inaczej robi się dopiero w wierszu z pomyłką.

Kiedy ANOVA wygrywa?

Gdy dane wyglądają jak dane, a wariancje są podobne

PlantGrowth to podręcznikowy przypadek dla ANOVA. Kalkulator sprawdza równość wariancji testem Browna-Forsythe'a i wychodzi p = 0,3412, czyli brak podstaw, żeby uznać wariancje za różne. Przy takich danych ANOVA jest naturalnym wyborem: p = 0,0159, a do tego wynik daje się czytać w jednostkach pomiaru, a nie w rangach.

Gdy trzeba powiedzieć, o ile grupy się różnią

Kruskal-Wallis odpowiada „tak” albo „nie” na pytanie o różnicę rozkładów. ANOVA razem z testem Tukeya mówi więcej: Zabieg 2 daje średnio o 0,865 więcej niż Zabieg 1, a 95-procentowy przedział tej różnicy to od 0,1738 do 1,5562. To liczby, które da się przełożyć na decyzję, na przykład czy zysk z drugiego sposobu uprawy pokrywa jego koszt.

Gdy wariancje są nierówne, ale rozkłady w porządku

Tu ANOVA nie przegrywa, tylko zmienia formę. Kalkulator zawsze liczy obok test Welcha, który nie zakłada równych wariancji. Na PlantGrowth daje p = 0,0174, więc wniosek się nie zmienia. Gdyby Brown-Forsythe wskazał różne wariancje, decyzję należałoby oprzeć na Welchu, a nie przechodzić od razu na rangi.

Kiedy Kruskal-Wallis wygrywa?

Gdy w danych siedzi wartość odstająca

Wystarczy jedna literówka. Pomiar 6,03 w grupie Zabieg 1 wpisany z przecinkiem w złym miejscu, jako 60,3. Średnia tej grupy skacze z 4,661 do 10,088, a odchylenie z 0,7937 do 17,654. ANOVA traci zdolność wykrycia czegokolwiek: F spada do 0,7466, p rośnie do 0,4835, a test Tukeya nie znajduje ani jednej istotnej pary. Nawet test Welcha daje p = 0,1117.

Kruskal-Wallis prawie tego nie zauważa. Wartość 60,3 dostaje rangę 30, czyli najwyższą, i dla testu nie ma znaczenia, czy to 6,4 czy 600. Suma rang Zabiegu 1 rośnie tylko ze 103,5 do 106,5. H spada z 7,9882 do 7,3223, p rośnie tylko do 0,0257, a test Dunna dalej wskazuje parę Zabieg 1 - Zabieg 2 jako istotną (p po poprawce 0,0221). Kalkulator ANOVA ostrzega przy tym, że największa wariancja jest 1 591,2 razy większa od najmniejszej. To sygnał, żeby najpierw sprawdzić dane, a potem wybierać test.

Gdy dane są ocenami, a nie pomiarami

Oceny w skali od 1 do 5, miejsca w rankingu, stopnie nasilenia objawu. Różnica między „2” a „3” nie musi znaczyć tyle samo co między „4” a „5”, więc liczenie średniej ma ograniczony sens. Kruskal-Wallis potrzebuje tylko tego, żeby wartości dało się uporządkować, i dlatego jest tu naturalnym wyborem.

Gdy grup jest dwie, a prób mało

Przy dwóch grupach kalkulator Kruskala-Wallisa liczy dokładną wartość p, przeglądając wszystkie możliwe podziały rang na grupy. Dla Zabiegu 1 i Zabiegu 2 to 184 756 podziałów i dokładne p = 0,0089, podczas gdy przybliżenie chi-kwadrat dawałoby 0,0102. Przy małych próbach ta różnica potrafi przesądzić o wniosku.

Co po ANOVA: test Tukeya i test Dunna para po parze

Istotny wynik ANOVA albo Kruskala-Wallisa mówi tylko, że co najmniej jedna grupa odstaje. Żeby wiedzieć, która, potrzebny jest test post hoc. Porównywanie każdej pary zwykłym testem t zawyża ryzyko fałszywego alarmu, bo przy trzech parach robi się trzy próby trafienia w przypadek. Test Tukeya trzyma łączne ryzyko błędu dla wszystkich par na poziomie α, a test Dunna robi to samo dla rang przez poprawkę Bonferroniego.

Obie metody zgadzają się co do jedynej istotnej pary. Ciekawe jest coś innego: żaden zabieg nie różni się istotnie od kontroli. Zabieg 1 obniża średnią o 0,371, Zabieg 2 podnosi o 0,494, i każda z tych różnic osobno mieści się w granicach przypadku. Istotna jest dopiero odległość między zabiegami, czyli suma obu przesunięć. Ktoś, kto po istotnej ANOVA ogłosiłby, że „Zabieg 2 działa lepiej niż brak zabiegu”, napisałby coś, czego dane nie mówią.

Wartość krytyczna, której używa Tukey, to q(0,05; 3; 27) = 3,5064, a z niej najmniejsza istotna różnica, HSD = 0,6912. Różnica między zabiegami, 0,865, jest od niej większa. Pozostałe dwie są mniejsze, więc tu rachunek „na palcach” daje ten sam wniosek co tabela.

Werdykt: który test wybrać do swoich danych

Nie ma testu lepszego zawsze. Na PlantGrowth oba prowadzą do tego samego wniosku, a różnica w p, 0,0159 wobec 0,0184, nie ma praktycznego znaczenia. Wybór robi się ważny przy danych, które odbiegają od podręcznika.

Ostatni wiersz jest najważniejszy. Kruskal-Wallis „przeżył” pomyłkę 60,3 zamiast 6,03, ale to nie znaczy, że należy go wybierać na wszelki wypadek. Ostrzeżenie o ilorazie wariancji 1 591,2 to moment, w którym trzeba wrócić do arkusza, a nie zmieniać test. Dopiero gdy wartość odstająca jest prawdziwym pomiarem, rangi są uczciwszym wyborem niż średnie.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator ANOVA - jednoczynnikowa analiza wariancji dla 2-10 grup z surowych pomiarów albo statystyk, z siłą efektu η² i ω², testem Welcha i testem Browna-Forsythe'a.

Kalkulator Testu Kruskala-Wallisa - porównanie grup na rangach z poprawką na wiązania, dokładnym p dla małych prób i testem Dunna dla par.

Kalkulator Testu Tukeya - test post hoc HSD z przedziałami jednoczesnymi i wartością p dla każdej pary, także przy nierównych grupach.

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Testu t Dwupróbowego · Kalkulator Testu t Jednopróbowego · Kalkulator Testu Wilcoxona · Kalkulator Testu Fishera · Kalkulator Chi-kwadrat · Kalkulator Testu z · Kalkulator Wartości p · Kalkulator Wielkości Próby · Kalkulator Przedziału Ufności · Kalkulator Błędu Standardowego Średniej · Kalkulator Z-score · Kalkulator Korelacji Pearsona · Kalkulator Regresji Liniowej · Kalkulator Współczynnika Determinacji R² · Kalkulator Skośności Rozkładu · Kalkulator Kurtozy · Kalkulator Współczynnika Zmienności · Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego · Kalkulator Percentyla · Kalkulator Mody i Dominanty · Kalkulator Kwartyli z Szeregu Rozdzielczego · Kalkulator Prawdopodobieństwa Warunkowego · Kalkulator Schematu Bernoulliego · Kalkulator Rozkładu Poissona · Kalkulator Rozkładu Wykładniczego · Kalkulator Prawdopodobieństwa Lotto