Kalkulator Przedziału Ufności - Średnia i Proporcja

Przedział ufności: co dostajesz i od czego zależy jego szerokość

Dziesięć pomiarów, średnia 14,100, odchylenie standardowe 1,1972. Przy 95 % ufności przedział dla średniej w populacji biegnie od 13,244 do 14,956, czyli średnia z próby plus minus 0,856. Kalkulator liczy ten przedział na trzy sposoby: z wklejonej serii pomiarów, z gotowych statystyk (średnia, odchylenie, liczebność) oraz dla proporcji, gdy wynikiem badania jest odsetek. Dla średniej używa rozkładu t, dla proporcji przedziału Wilsona obok klasycznego Walda, a do każdego wyniku dokłada tabelę pokazującą to samo przy 90, 95 i 99 % ufności.

3 tryby

seria, statystyki, proporcja

t, nie z

mnożnik zależny od liczebności

tyle próby na dwa razy węższy przedział

Trzy tryby i co trzeba mieć pod ręką - krok po kroku

Tryb obliczeń - wybierz, skąd bierzesz dane. Masz surowe pomiary? Tryb z serią. Masz tylko podsumowanie z raportu? Tryb ze statystyk. Liczysz odsetek, na przykład ile osób odpowiedziało „tak"? Tryb proporcji.
Seria pomiarów - wklej liczby oddzielone przecinkiem, średnikiem, spacją albo każdą w nowej linii. Kalkulator sam policzy liczebność, średnią i odchylenie standardowe z dzielnikiem n-1. Minimum to 2 pomiary, maksimum 5 000.
Średnia, odchylenie standardowe i liczebność - w trybie ze statystyk. Odchylenie musi być próbkowe (dzielnik n-1), bo takie podają arkusze kalkulacyjne w funkcji odchylenia standardowego próbki i taki zakłada rozkład t.
Liczba wyróżnionych obserwacji i liczebność próby - w trybie proporcji. Pierwsze pole to ile razy zdarzyła się interesująca cię odpowiedź, drugie to ile było wszystkich. Obie liczby całkowite.
Poziom ufności - 90, 95 albo 99 %. Pole nie ma wartości domyślnej, bo od niego zależy szerokość całego wyniku, a ciche ustawienie 95 % bywa źródłem nieporozumień przy porównywaniu raportów.
Odczytaj wyniki - granice przedziału w kafelku głównym, obok punkt szacunkowy, połowa szerokości, błąd standardowy i użyty mnożnik. Niżej rozpis, z czego powstał przedział, oraz ten sam wynik przy trzech poziomach ufności.

Skąd bierze się ten przedział

Średnia z próby prawie nigdy nie jest równa średniej całej populacji. Gdyby pomiar powtórzyć na innej losowej grupie, wyszłaby inna liczba, i to rozrzut tych hipotetycznych średnich opisuje błąd standardowy, czyli odchylenie standardowe podzielone przez pierwiastek z liczebności. Dla dziesięciu pomiarów z przykładu wyżej odchylenie 1,1972 daje błąd standardowy 0,379. To on, a nie samo odchylenie, wyznacza skalę niepewności średniej.

Żeby z błędu standardowego zrobić przedział, trzeba go pomnożyć przez mnożnik odpowiadający wybranej pewności. Gdyby odchylenie populacji było znane, mnożnikiem byłaby liczba z rozkładu normalnego: 1,645 dla 90 %, 1,960 dla 95 % i 2,576 dla 99 %. W praktyce odchylenie szacujemy z tej samej próby, co średnią, więc dochodzi drugie źródło niepewności i mnożnik pochodzi z rozkładu t. Przy dziewięciu stopniach swobody wynosi on 2,262 zamiast 1,960, co przy tych samych danych rozszerza przedział o kilkanaście procent.

Stopnie swobody to liczebność pomniejszona o jeden. Jedynka znika dlatego, że odchylenie liczone jest względem średniej wyznaczonej z tych samych danych, więc jedna informacja została już zużyta. Stąd dzielnik n-1 w odchyleniu próbkowym i stąd df = 9 przy dziesięciu pomiarach.

Poziom ufności mówi, jak często taka procedura trafia. Gdyby powtórzyć całe badanie sto razy i za każdym razem policzyć przedział 95 %, mniej więcej 95 z tych przedziałów objęłoby prawdziwą wartość w populacji, a około 5 nie. Zdanie „prawdziwa średnia z prawdopodobieństwem 95 % leży w tym przedziale" jest skrótem myślowym: to procedura ma 95 % skuteczności, a konkretny przedział albo trafia, albo nie.

Mnożnik t według liczebności próby

W tabeli widać, jak szybko mnożnik spada wraz z liczebnością i jak wolno zmienia się potem. Ostatnia kolumna pokazuje połowę szerokości przedziału 95 % przy odchyleniu standardowym równym 10, czyli o ile średnia rozjeżdża się w górę i w dół przy takim rozrzucie danych.

Liczebność n	df	t dla 90 %	t dla 95 %	t dla 99 %	± przy s = 10 i 95 %
3	2	2,9200	4,3027	9,9248	24,8
5	4	2,1318	2,7764	4,6041	12,4
10	9	1,8331	2,2622	3,2498	7,15
20	19	1,7291	2,0930	2,8609	4,68
30	29	1,6991	2,0452	2,7564	3,73
50	49	1,6766	2,0096	2,6800	2,84
100	99	1,6604	1,9842	2,6264	1,98
200	199	1,6525	1,9720	2,6008	1,39
500	499	1,6479	1,9647	2,5857	0,879
1 000	999	1,6464	1,9623	2,5808	0,621

Skok między trzema a dziesięcioma pomiarami jest ogromny: mnożnik spada z 4,3027 do 2,2622, a przedział z ±24,8 do ±7,15. Między stu a tysiącem obserwacji mnożnik zmienia się już tylko z 1,9842 na 1,9623. Cała dalsza poprawa bierze się wtedy z pierwiastka w mianowniku błędu standardowego, nie z rozkładu t.

Proporcja: dlaczego Wilson, a nie sam Wald

Klasyczny przedział dla odsetka to wynik plus minus mnożnik razy pierwiastek z p razy (1-p) przez n. Wzór jest prosty i przy dużych próbach ze środka skali działa dobrze. Przy małych próbach i wartościach blisko zera albo stu procent zawodzi, a w skrajnym przypadku daje przedział o zerowej szerokości. Dlatego kalkulator pokazuje jako główny wynik przedział Wilsona, a Walda obok, do porównania.

Próba (95 % ufności)	Odsetek	Wilson	Wald
300 z 1 000	30,00 %	27,24 % do 32,91 %	27,16 % do 32,84 %
7 z 20	35,0 %	18,1 % do 56,7 %	14,1 % do 55,9 %
0 z 30	0,0 %	0,0 % do 11,4 %	0,0 % do 0,0 %

Przy tysiącu obserwacji obie metody dają praktycznie to samo, różnica sięga setnych części punktu procentowego. Przy dwudziestu rozjazd dolnej granicy to już 4 punkty procentowe. A przy zerowym wyniku Wald twierdzi, że odsetek w populacji wynosi dokładnie zero, co jest nieprawdą: z trzydziestu obserwacji bez ani jednego trafienia wynika tylko tyle, że wartość mieści się gdzieś poniżej 11,4 %.

Zależności, które widać dopiero na liczbach

Zawężenie przedziału o połowę kosztuje czterokrotnie większą próbę. Średnia 3 450 przy odchyleniu 620 i 40 obserwacjach daje ±198. Ta sama średnia i to samo odchylenie przy 160 obserwacjach daje ±96,8. Czterokrotny wzrost liczebności skrócił połowę szerokości niemal dokładnie o połowę, bo w mianowniku stoi pierwiastek.

Wyższa ufność nie jest darmowa. Te same dziesięć pomiarów daje ±0,694 przy 90 %, ±0,856 przy 95 % i ±1,230 przy 99 %. Przejście z 95 na 99 % rozszerza przedział o ponad 40 %. Pewność kupuje się precyzją i to jest cała transakcja.

Przedział dotyczy średniej, nie pojedynczego pomiaru. Dla serii z przykładu przedział ma szerokość niecałych dwóch jednostek, a same pomiary rozciągają się od 12 do 16. To nie sprzeczność: średnia z dziesięciu wartości jest znacznie stabilniejsza niż pojedyncza obserwacja. Zakres, w którym mieszczą się pojedyncze wyniki, to przedział predykcji i liczy się go inaczej.

Trzy pomiary to za mało, żeby cokolwiek orzec. Przy n = 3 mnożnik t dla 99 % wynosi 9,9248. Przy odchyleniu 10 przedział 95 % rozciąga się na ±24,8, czyli na więcej niż dwa i pół odchylenia w każdą stronę. Formalnie policzalne, praktycznie bezużyteczne.

Jak czytać wynik i czego on nie rozstrzyga

Przedział ufności odpowiada na pytanie „w jakich granicach mieści się wartość w populacji", a nie na pytanie „czy różnica jest istotna". To drugie rozstrzyga test statystyczny: test t jednopróbowy porównuje średnią z wartością odniesienia, a kalkulator wartości p przelicza gotową statystykę na prawdopodobieństwo. Oba narzędzia wymagają hipotezy, której ten kalkulator nie potrzebuje i o którą nie pyta.

Wynik zakłada, że próba jest losowa, a obserwacje niezależne. Żaden wzór nie naprawi próby dobranej wygodnie: jeśli ankietę wypełnili wyłącznie najbardziej zaangażowani klienci, przedział policzy się poprawnie, ale będzie opisywał populację tych zaangażowanych, nie wszystkich. Przy silnie skośnych danych i małej próbie przedział bywa zbyt optymistyczny, bo rozkład t zakłada w miarę symetryczny rozrzut. Jeśli planujesz badanie i chcesz wiedzieć, ilu ludzi potrzeba dla zadanej precyzji, to pytanie odwrotne i odpowiada na nie kalkulator wielkości próby.

Pięć policzonych przykładów

Przykład 1: dziesięć pomiarów czasu reakcji. Seria 12, 14, 15, 13, 16, 14, 15, 13, 14, 15 przy 95 % ufności.
Wynik: średnia 14,100, przedział od 13,244 do 14,956, mnożnik t 2,262 przy df = 9.

Przykład 2: średnia z raportu, 40 obserwacji. Średnia 3 450, odchylenie 620, n = 40, ufność 95 %.
Wynik: od 3 252 do 3 648, czyli ±198, błąd standardowy 98,0.

Przykład 3: ta sama średnia, próba cztery razy większa. Średnia 3 450, odchylenie 620, n = 160.
Wynik: od 3 353,2 do 3 546,8, czyli ±96,8. Przedział zwęził się niemal dokładnie o połowę.

Przykład 4: sondaż na tysiącu osób. Odpowiedź „tak" padła 300 razy na 1 000, ufność 95 %.
Wynik: odsetek 30,00 %, przedział Wilsona od 27,24 % do 32,91 %, połowa szerokości 2,84 punktu procentowego.

Przykład 5: pięć pomiarów laboratoryjnych. Seria 3,2 3,5 3,1 3,8 3,4 przy 95 % ufności.
Wynik: średnia 3,400, przedział od 3,060 do 3,740, mnożnik t 2,776, a przy 99 % już od 2,836 do 3,964.

Pytania, które wracają przy przedziałach ufności

Czy przedział 95 % znaczy, że prawdziwa wartość leży w nim z prawdopodobieństwem 95 %?

Nie w ścisłym sensie. Prawdziwa wartość jest stała, to przedział jest losowy, bo zależy od wylosowanej próby. Poprawne zdanie brzmi: gdyby badanie powtórzyć wiele razy, około 95 % policzonych w ten sposób przedziałów objęłoby prawdziwą wartość. W praktyce interpretacja potoczna niewiele szkodzi, ale przy pisaniu raportu warto użyć tej pierwszej.

Kiedy używać t, a kiedy z?

Rozkład t wtedy, gdy odchylenie standardowe szacujesz z próby, czyli praktycznie zawsze przy danych z pomiaru. Rozkład z wtedy, gdy odchylenie populacji jest znane z zewnątrz, co zdarza się głównie w zadaniach szkolnych. Kalkulator dla średniej używa t, a dla proporcji z, bo tam odchylenie wynika wprost z samego odsetka.

Ile obserwacji potrzeba, żeby przedział był dwa razy węższy?

Czterokrotnie więcej. Szerokość maleje jak pierwiastek z liczebności, więc z 40 na 160 obserwacji połowa szerokości spada z ±198 do ±96,8. Żeby zawęzić dziesięciokrotnie, próba musiałaby urosnąć sto razy.

Czy to jest to samo co margines błędu z sondaży?

Margines błędu podawany przy sondażach to właśnie połowa szerokości przedziału dla proporcji, zwykle przy 95 % ufności i przy założeniu najgorszego przypadku, czyli odsetka bliskiego 50 %. Ten kalkulator liczy go z konkretnego wyniku, a nie z założenia. Jeśli szukasz marginesu przed badaniem, do planowania liczebności, użyj kalkulatora wielkości próby.

Dlaczego przy wyniku 0 na 30 kalkulator nie podaje zerowego przedziału?

Bo brak trafień w trzydziestu próbach nie dowodzi, że w populacji trafień nie ma wcale. Metoda Walda daje tu 0,0 % do 0,0 %, co jest wnioskiem nie do obrony. Wilson podaje 0,0 % do 11,4 % i to jest uczciwa odpowiedź: zjawisko może występować, tylko rzadko.

Jakie odchylenie standardowe wpisać w trybie ze statystyk?

Próbkowe, czyli liczone z dzielnikiem n-1. W arkuszu kalkulacyjnym odpowiada mu funkcja odchylenia standardowego próbki, nie populacji. Jeśli masz tylko surowe liczby, wklej je w trybie z serią, a kalkulator policzy odchylenie sam, we właściwej wersji. Samo odchylenie i wariancję policzy kalkulator odchylenia standardowego.

Czy dwa przedziały, które się nie nakładają, oznaczają istotną różnicę?

Brak nakładania to mocna przesłanka, ale odwrotnie już nie działa: przedziały mogą się lekko nakładać, a różnica i tak być istotna. Porównanie dwóch grup ma własną procedurę i własny przedział dla różnicy średnich, który policzy kalkulator testu t dwupróbowego.

Czy kalkulator poradzi sobie z danymi z licznika, gdzie wartości są bardzo małe?

Tak. Liczba miejsc po przecinku dobiera się automatycznie do szerokości przedziału, więc przy wartościach rzędu tysięcznych wynik nie zaokrągli się do zera, a przy kwotach w tysiącach nie pokaże sześciu zbędnych cyfr. Część dziesiętną możesz wpisywać po przecinku albo po kropce.

Powiązane narzędzia

Kalkulator Błędu Standardowego Średniej

Jak chwiejna jest średnia z próby i ile obserwacji brakuje do zadanej precyzji - Zobacz kalkulator

Kalkulator Kwartyli z Szeregu Rozdzielczego

Q1, mediana i Q3 z przedziałów klasowych, przez interpolację w klasie kwartylowej - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu t Jednopróbowego

Sprawdza, czy średnia z próby różni się istotnie od zadanej wartości odniesienia - Zobacz kalkulator

Kalkulator Wielkości Próby

Odpowiedź na pytanie odwrotne: ilu respondentów potrzeba, żeby uzyskać zadaną precyzję - Zobacz kalkulator

Kalkulator Odchylenia Standardowego

Odchylenie i wariancja z dowolnego zbioru liczb, czyli dane wejściowe do tego przedziału - Zobacz kalkulator

Kalkulator Wartości p

Przelicza gotową statystykę z, t, chi-kwadrat albo F na prawdopodobieństwo - Zobacz kalkulator

Kalkulator Z-score

Standaryzacja pojedynczej wartości i jej percentyl w rozkładzie normalnym - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu t Dwupróbowego

Porównanie dwóch grup wraz z przedziałem dla różnicy średnich - Zobacz kalkulator