Kalkulator Testu t Jednopróbowego - Wartość p i Przedział

Czy średnia z próby naprawdę odbiega od wartości, którą ktoś obiecał

Dziesięć kostek masła z opakowaniem na 200 g waży średnio 198,8 g. Czy to jeszcze przypadkowy rozrzut, czy już systematyczne niedoważenie? Test t jednopróbowy odpowiada na dokładnie takie pytanie: porównuje średnią z próby z jedną wartością odniesienia, na przykład deklaracją producenta, normą albo wynikiem z poprzedniego roku. Kalkulator przyjmuje surową serię pomiarów albo gotową średnią, odchylenie i liczebność, a zwraca statystykę t, wartość p, przedział ufności dla średniej i d Cohena. Dla tych dziesięciu kostek wychodzi t = -4,500 i p = 0,0015, więc niedoważenie jest istotne statystycznie.

Od serii pomiarów do decyzji w sześciu krokach

Sposób podania danych - wybierz serię pomiarów, jeśli masz surowe wyniki, albo średnią, odchylenie i liczebność, jeśli znasz je z raportu lub publikacji.
Seria pomiarów - wklej wartości rozdzielone spacją, średnikiem albo nową linią. Przecinek dziesiętny w zapisie 198,2 jest rozpoznawany poprawnie. W trybie statystyk wpisujesz zamiast tego średnią, odchylenie standardowe z próby i liczebność.
Wartość odniesienia - liczba, z którą porównujesz średnią: gramatura z etykiety, norma, wartość docelowa procesu. Musi być ustalona przed zebraniem danych, a nie wyczytana z nich.
Poziom istotności - próg dla wartości p. Standardem jest 0,05, zaostrzony próg to 0,01, badanie wstępne dopuszcza 0,10.
Rodzaj hipotezy - dwustronna, gdy pytasz, czy średnia w ogóle się różni, jednostronna, gdy kierunek był znany z góry, na przykład przy kontroli niedoważenia.
Odczytaj wyniki - najpierw decyzję i wartość p, potem przedział ufności, który mówi, gdzie realnie leży średnia, a na końcu d Cohena, które pokazuje, czy różnica jest duża.

Test t jednopróbowy, test z czy test Wilcoxona

Wszystkie trzy porównują próbę z jedną wartością, ale zakładają co innego. Wybór zależy od tego, co wiesz o danych, zanim cokolwiek policzysz.

Cecha	Test t jednopróbowy	Test z	Test Wilcoxona
Co porównuje	średnią	średnią	medianę, przez rangi
Odchylenie populacji	nieznane, liczone z próby	znane z góry	niepotrzebne
Założenie o rozkładzie	zbliżony do normalnego, ważne przy małej próbie	normalny albo duża próba	symetryczny, bez wymogu normalności
Wrażliwość na wartości odstające	duża	duża	mała
Typowa sytuacja	kontrola gramatury, czasu, wyniku na tle normy	proces o dobrze poznanej zmienności	skale ocen, dane skośne, mała próba
Kiedy wybrać	Test t, gdy dane są liczbowe i w miarę symetryczne, a odchylenia populacji nie znasz, czyli w większości praktycznych przypadków. Przy silnej asymetrii lub wartościach odstających w małej próbie bezpieczniejszy jest test oparty na rangach.

Wzór i pełny rachunek na dziesięciu kostkach masła

t = (x̄ - μ₀) / (s / √n),   df = n - 1

Pomiary w gramach: 198,2 199,5 197,8 200,1 198,9 199,2 198,4 197,6 199,8 198,5, wartość odniesienia 200, hipoteza dwustronna, poziom 0,05.

Średnia i odchylenie. Średnia wynosi 198,800 g, odchylenie standardowe z próby 0,843 g.

Błąd standardowy. 0,843 / √10 = 0,2667 g. Tyle wynosi typowa niepewność samej średniej, a nie pojedynczego pomiaru.

Statystyka t. (198,800 - 200) / 0,2667 = -4,500 przy 9 stopniach swobody.

Decyzja. Wartość krytyczna dla df 9 wynosi 2,262. Moduł z t przekracza ją prawie dwukrotnie, a wartość p to 0,0015, więc różnica jest istotna.

Przedział i siła efektu. 198,800 ± 2,262 × 0,2667 daje przedział 95 % od 198,197 do 199,403 g, który nie obejmuje 200. d Cohena wynosi -1,42, czyli efekt duży.

Te same dane, inna hipoteza, inny wniosek

Wszystkie wiersze policzone tym kalkulatorem. Najwięcej uczą dwa środkowe: ta sama próba raz przechodzi test, a raz nie, zależnie od tego, jaką hipotezę postawiono.

Dane i hipoteza	t	p	d Cohena	Wniosek
Masło, 10 kostek wobec 200 g, dwustronnie	-4,500	0,0015	-1,42	istotne
Masło, jednostronnie: czy mniej niż 200 g	-4,500	0,0007	-1,42	istotne, granica 95 % do 199,289 g
Średnia 52,3, odchylenie 8,1, n 36 wobec 50, dwustronnie	1,704	0,0973	0,28	nieistotne
Te same statystyki, jednostronnie: czy więcej niż 50	1,704	0,0487	0,28	istotne, ale tylko przy kierunku ustalonym z góry
Czas obsługi 31 29 34 36 30 33 35 32 min wobec 30, czy dłużej	2,887	0,0117	1,02	istotne
Średnia 100,4, odchylenie 5, n 2000 wobec 100	3,578	0,0004	0,08	istotne, lecz efekt znikomy
Pięć pomiarów 12 15 9 16 13 wobec 10	2,449	0,0705	1,10	nieistotne mimo dużego efektu

Przy tych samych danych zaostrzenie progu do 0,01 nie zmienia decyzji dla masła, bo p = 0,0015, ale wartość krytyczna rośnie do 3,250, a przedział ufności 99 % rozszerza się do 197,933 - 199,667 g.

Wartości krytyczne t do szybkiego sprawdzenia

Jeśli moduł z policzonej statystyki t jest większy od wartości w tabeli, wynik jest istotny na danym poziomie. Stopnie swobody w teście jednopróbowym to liczba pomiarów minus jeden.

Stopnie swobody	0,05 dwustronnie	0,05 jednostronnie	0,01 dwustronnie
4	2,776	2,132	4,604
5	2,571	2,015	4,032
9	2,262	1,833	3,250
10	2,228	1,812	3,169
20	2,086	1,725	2,845
29	2,045	1,699	2,756
35	2,030	1,690	2,724

Pułapki, przez które test t prowadzi do złego wniosku

Hipoteza jednostronna wybrana po obejrzeniu danych. W przykładzie ze średnią 52,3 przejście na jednostronną obniża p z 0,0973 do 0,0487. Taka zmiana jest uczciwa tylko wtedy, gdy kierunek ustalono przed pomiarem.

Brak istotności czytany jako brak różnicy. Pięć pomiarów średnio o 3 jednostki powyżej normy daje d = 1,10, a mimo to p = 0,0705. Przedział ufności od 9,600 do 16,400 pokazuje, że próba jest po prostu za mała, żeby cokolwiek przesądzić.

Istotność pomylona z ważnością. Przy 2000 pomiarach różnica 0,4 przy odchyleniu 5 daje p = 0,0004, choć d Cohena to tylko 0,08. Czy 0,4 jednostki ma znaczenie, rozstrzyga wiedza o procesie, nie wartość p.

Pomiary, które nie są niezależne. Dziesięć ważeń tej samej kostki to jeden pomiar powtórzony dziesięć razy, a nie próba dziesięciu kostek. Test policzy się, ale sztucznie zawęzi błąd standardowy.

Pytania o test t jednopróbowy

Kiedy użyć testu t, a kiedy testu z?

Test z wymaga znanego odchylenia populacji, co w praktyce zdarza się rzadko. Gdy odchylenie liczysz z tej samej próby, właściwy jest test t. Przy dużych próbach oba dają niemal to samo: dla 35 stopni swobody dwustronna wartość krytyczna t wynosi 2,030, wobec 1,960 w teście z.

Ile pomiarów potrzeba do testu t?

Rachunkowo wystarczą 2, bo z dwóch wartości da się już policzyć odchylenie. Sensowny wniosek wymaga jednak więcej: przy 5 pomiarach wartość krytyczna to 2,776, przy 30 już 2,045. Im mniejsza próba, tym większa różnica potrzebna, żeby test ją wykrył.

Czym są stopnie swobody w teście t jednopróbowym?

To liczba pomiarów minus jeden. Jeden stopień swobody „zużywa” średnia, bo odchylenie liczone jest od niej, a nie od prawdziwej średniej populacji. Dziesięć kostek masła daje więc 9 stopni swobody.

Czy p równe 0,0487 to wynik istotny?

Przy progu 0,05 formalnie tak, ale wynik tuż pod progiem jest kruchy. Kilka dodatkowych pomiarów potrafi przesunąć go na drugą stronę. Warto wtedy spojrzeć na przedział ufności: dla średniej 52,3 jego jednostronna granica wynosi 50,019, czyli ledwie ponad wartość odniesienia.

Jak czytać d Cohena?

To różnica średniej od wartości odniesienia wyrażona w odchyleniach standardowych. Umowa Cohena przyjmuje 0,2 za efekt mały, 0,5 za średni i 0,8 za duży. Znak mówi tylko o kierunku: -1,42 dla masła to duży efekt w dół.

Co zrobić, gdy dane nie mają rozkładu normalnego?

Przy kilkudziesięciu pomiarach test t jest dość odporny na umiarkowane odstępstwa. Przy małej próbie ze skośnym rozkładem albo z wartościami odstającymi bezpieczniej użyć testu opartego na rangach. Asymetrię serii można najpierw sprawdzić kalkulatorem skośności.