Kalkulator Współczynnika Zmienności

Odchylenie 2549 zł to dużo czy mało

Na to pytanie nie da się odpowiedzieć, dopóki nie wiadomo, wokół jakiej średniej te dane się układają. Dwanaście wynagrodzeń o średniej 7675 zł ma odchylenie standardowe 2548,8 zł, czyli 33,2 procent średniej. Dwadzieścia czasów odpowiedzi serwera ma odchylenie 80,3 ms, trzydzieści jeden razy mniejsze w liczbach bezwzględnych, a mimo to 51,3 procent własnej średniej. Bardziej rozstrzelone są czasy, choć na pierwszy rzut oka wygląda odwrotnie. Współczynnik zmienności to właśnie to przeliczenie: odchylenie odniesione do średniej, wyrażone w procentach i pozbawione jednostki.

Bez współczynnika zmienności

Porównujesz odchylenia w złotówkach z odchyleniami w milisekundach
Większa liczba wygląda na większy rozrzut, nawet gdy jest odwrotnie
Nie wiesz, czy 2549 zł to rozstrzelone wynagrodzenia, czy wąskie widełki
Zmiana jednostki z metrów na centymetry zmienia liczbę stukrotnie

Ze współczynnikiem zmienności

Obie serie sprowadzone do wspólnej skali procentowej
Widać, że czasy odpowiedzi są rozstrzelone bardziej niż pensje
Wynik nie zależy od jednostki ani od rzędu wielkości danych
Da się porównać rozrzut wagi paczek z rozrzutem cen mieszkań

Jak liczy się ten współczynnik

Wzór ma dwa składniki i żadnych stałych:

    CV = (odchylenie standardowe / |średnia|) × 100 %
  

Obliczenie 1: dwanaście wynagrodzeń. Suma dzielona przez dwanaście daje średnią 7675,0 zł. Odchylenie standardowe z próby wynosi 2548,8 zł. Iloraz 2548,8 / 7675,0 to 0,332, czyli 33,2 procent.

Obliczenie 2: seria podręcznikowa. Dla ośmiu liczb 2 4 4 4 5 5 7 9 średnia wynosi równo 5, a odchylenie populacyjne równo 2. Współczynnik to 2 / 5, czyli dokładnie 40,0 procent. Ta sama seria potraktowana jako próba daje odchylenie 2,138 i współczynnik 42,8 procent, bo dzielnik zmienia się z n na n-1.

Co realnie zyskujesz na tym przeliczeniu

Trzy pary serii, w każdej samo odchylenie prowadzi do innego wniosku niż współczynnik. Wszystkie liczby pochodzą z uruchomienia tego kalkulatora.

Porównywane serie	Odchylenia	Współczynniki	Co się zmienia we wniosku
Wynagrodzenia wobec czasów odpowiedzi	2548,8 i 80,3	33,2 % i 51,3 %	odchylenie wskazuje pensje, współczynnik czasy
Saszetki 10 g wobec opakowań 300 g	2,0 i 20,0	20,0 % i 6,7 %	linia z dziesięciokrotnie większym odchyleniem pracuje trzy razy równiej
Ceny wobec tych samych cen po dodaniu 100	12,9 i 12,9	51,6 % i 10,3 %	odchylenie nie widzi różnicy, współczynnik spada pięciokrotnie

Wiersz drugi jest najbardziej pouczający. Linia pakująca opakowania po 300 g ma odchylenie dziesięć razy większe niż linia od saszetek 10 g, a mimo to pracuje trzy razy równiej w stosunku do własnej normy. Gdyby oceniać ją po samym odchyleniu, wyszłaby na gorszą.

Dwie własności, które warto znać przed porównaniem

Operacja na danych	Średnia	Odchylenie	Współczynnik
Seria wyjściowa `10 20 30 40`	25,0	12,9	51,6 %
Każda wartość pomnożona przez 7	175,0	90,4	51,6 %
Do każdej wartości dodane 100	125,0	12,9	10,3 %

Pierwsza własność: zmiana jednostki nic nie zmienia. Przeliczenie złotych na grosze, metrów na centymetry czy godzin na minuty mnoży wszystkie obserwacje przez stałą, a współczynnik zostaje ten sam co do cyfry. To właśnie dlatego wolno nim porównywać zbiory mierzone w różnych wielkościach. Druga własność: przesunięcie o stałą zmienia wszystko. Dodanie stu do każdej wartości nie rusza odchylenia, ale podnosi średnią, więc współczynnik spada z 51,6 na 10,3 procent. Stąd bierze się najczęstsze nadużycie tej miary, opisane niżej.

Kiedy ta liczba nie znaczy nic

Współczynnik zmienności działa wyłącznie na wielkościach mierzonych na skali z naturalnym zerem, czyli takich, w których zdanie „dwa razy więcej" ma sens: kwoty, masy, czasy, długości, liczności. Skoro przesunięcie o stałą zmienia wynik pięciokrotnie, to skala z umownym zerem daje liczbę zależną od tego, gdzie ktoś kiedyś to zero postawił.

Sześć temperatur -5 -2 0 3 8 12 ma średnią 2,7 i odchylenie 6,4, więc współczynnik wychodzi 239,1 procent. Te same temperatury w kelwinach dałyby wynik poniżej trzech procent. Obie liczby są policzone poprawnie i obie nie opisują niczego, bo zero w stopniach Celsjusza to punkt umowny. Kalkulator wypisuje ostrzeżenie, gdy w danych znajdzie wartości ujemne.

Druga pułapka to średnia blisko zera. Wtedy mianownik jest mały, współczynnik rośnie do setek procent i staje się niestabilny: przesunięcie jednej obserwacji potrafi ruszyć go o dziesiątki punktów. Przy takich danych lepiej podać samo odchylenie albo rozstęp międzykwartylowy. Trzecia to bardzo mała próba, bo przy kilku obserwacjach sam współczynnik ma szeroki przedział ufności. Kalkulator sygnalizuje oba przypadki.

Czego tu nie znajdziesz, i to celowo: skali ocen słownych. Krąży kilka konkurencyjnych podziałów na zmienność małą, przeciętną i dużą, żaden nie jest normą, a progi w każdym z nich są inne. To, czy 25 procent to dużo, zależy od dziedziny: dla wagi tabletek w produkcji leków byłaby to katastrofa, dla dziennych obrotów sklepu norma.

Co wpisać w każde pole

Pierwsza seria - obserwacje rozdzielone spacją, przecinkiem, średnikiem albo nową linią. Kolejność bez znaczenia, minimum dwie wartości, maksimum 5000.
Druga seria - opcjonalna. Wypełnij ją, jeśli chcesz porównać dwa zbiory. Zostaw pustą, jeśli interesuje Cię sam współczynnik dla jednej serii.
Rodzaj zbioru - próba czy cała populacja. Próba dzieli sumę kwadratów przez n-1 i tak liczą arkusze kalkulacyjne oraz R. Populację wybieraj tylko wtedy, gdy masz komplet danych, na przykład wszystkie pensje w firmie, a nie wylosowaną część.
Nazwy serii - opcjonalne etykiety, które pojawią się w tabeli porównawczej zamiast oznaczeń A i B.
Odczytaj wyniki - współczynnik, średnia, odchylenie i zakres, a przy dwóch seriach dodatkowo zestawienie oraz wskazanie, która jest stabilniejsza wobec własnej skali.

Często pytacie

Czy współczynnik zmienności może przekroczyć 100 procent?

Tak, i nie jest to błąd. Oznacza po prostu, że odchylenie standardowe jest większe niż średnia, co przy danych mocno skośnych z długim ogonem zdarza się często. Sześć temperatur z przykładu wyżej daje 239,1 procent. Im wyższa liczba, tym większa ostrożność: przy wartościach powyżej stu procent warto sprawdzić, czy średnia w ogóle dobrze opisuje ten zbiór.

Wybierać próbę czy populację?

Populację tylko wtedy, gdy Twoje liczby to komplet, a nie wycinek: wszystkie sztuki z partii, wszystkie miesiące roku, wszystkie pensje w zespole. W każdym innym przypadku próbę. Różnica maleje z liczbą obserwacji: dla dwunastu wynagrodzeń to 33,2 wobec 31,8 procent, a przy stu obserwacjach byłaby już nieodczuwalna.

Dlaczego nie wystarczy samo odchylenie standardowe?

Bo odchylenie ma jednostkę danych i przez to nie da się go porównywać między zbiorami. Linia pakująca opakowania 300 g ma odchylenie 20,0 g wobec 2,0 g u linii od saszetek 10 g, czyli dziesięciokrotnie większe, a pracuje trzy razy równiej: 6,7 wobec 20,0 procent. Odchylenie odpowiada na pytanie „o ile", współczynnik na pytanie „o ile w stosunku do czego".

Jaki wynik uznać za dobry?

Nie ma uniwersalnej odpowiedzi i dlatego kalkulator nie wystawia ocen słownych. Sensowny punkt odniesienia to ten sam proces zmierzony wcześniej albo konkurencyjny zbiór z tej samej dziedziny. Spadek z 20 na 7 procent między dwoma kwartałami mówi więcej niż każda tabelka progów.

Czy zmiana jednostki wpłynie na wynik?

Nie, o ile jest to zwykłe przeskalowanie. Złote na grosze, metry na centymetry, kilogramy na gramy: wszystkie obserwacje mnożą się przez tę samą stałą, więc średnia i odchylenie rosną w tym samym stopniu, a iloraz zostaje. Sprawdzone w tabeli wyżej: seria pomnożona przez 7 daje te same 51,6 procent. Inaczej jest przy przeliczeniach z przesunięciem, jak stopnie Celsjusza na Fahrenheita, bo tam dochodzi dodawanie stałej.

Co zrobić, gdy w danych są wartości ujemne?

Najprawdopodobniej nie należy używać tej miary. Wartości ujemne prawie zawsze oznaczają skalę z umownym zerem albo wielkość wyrażoną jako odchylenie od czegoś, a wtedy iloraz przez średnią jest bez sensu. Sięgnij po odchylenie standardowe albo rozstęp międzykwartylowy. Kalkulator policzy liczbę, ale wypisze przy niej ostrzeżenie.

Ile obserwacji potrzeba?

Formalnie wystarczą dwie, praktycznie warto mieć co najmniej kilkanaście. Przy mniej niż pięciu kalkulator wypisze ostrzeżenie: liczba się policzy, ale sama będzie obarczona na tyle dużym błędem, że porównywanie na jej podstawie dwóch procesów jest ryzykowne.