Kalkulator IQR - Rozstęp Międzykwartylowy i Kwartyle

Rozstęp międzykwartylowy, czyli szerokość środkowej połowy danych

Dziewięć czasów realizacji zgłoszeń: 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18 i 47 dni. Odchylenie standardowe wynosi 11,5, choć osiem z dziewięciu wartości mieści się w przedziale ośmiu dni. Jedna obserwacja rozdmuchała miarę rozproszenia tak, że przestała opisywać zbiór. Rozstęp międzykwartylowy dla tych samych danych to 4,0. Kalkulator przyjmuje serię liczb i podaje kwartyle Q1, Q2 oraz Q3, wartość IQR, granice odstawania i listę obserwacji, które poza nie wychodzą.

Problem: jedna wartość psuje cały opis zbioru

Znasz to? Liczysz średnią i odchylenie standardowe, patrzysz na wynik i widzisz, że nie pasuje do tego, co masz w tabeli. W siedmioosobowym zespole z pensjami od 4 200 zł do 5 500 zł plus jedna na poziomie 12 000 zł odchylenie standardowe wynosi 2 730,3 zł. Sugeruje ogromne rozwarstwienie, którego wśród sześciu osób nie ma. Średnia i odchylenie standardowe biorą każdą obserwację z tą samą wagą, więc pojedynczy wyskok przesuwa obie miary. Przy odczytach z czujnika, gdzie jeden zapis to minus 5 stopni zamiast dwudziestu, odchylenie standardowe rośnie do 9,5 przy realnym rozrzucie rzędu 0,3 stopnia.

Rozwiązanie: mierz środek zbioru, nie jego krańce

IQR patrzy wyłącznie na to, gdzie leżą kwartyle, a nie na to, jak daleko odleciały pojedyncze wartości. Dzięki temu daje trzy rzeczy naraz.

Odporność na wyskoki. W przykładzie z czujnikiem usunięcie jednego błędnego odczytu zmienia odchylenie standardowe o 98,9 procent, a IQR tylko o 33,3 procent.

Gotowe kryterium odstawania. Reguła 1,5 x IQR wyznacza granice, poza którymi obserwacja jest kandydatem do sprawdzenia. Próg 3 x IQR wskazuje wartości skrajne.

Podstawa wykresu pudełkowego. Pudełko na box plocie to dokładnie odcinek od Q1 do Q3, a wąsy sięgają do granic 1,5 x IQR.

Jak obliczyć rozstęp międzykwartylowy krok po kroku

Seria danych - wklej wszystkie obserwacje. Rozdziel je spacją, przecinkiem, średnikiem albo nową linią, można wkleić kolumnę prosto z arkusza. Przy przecinku dziesiętnym rozdzielaj liczby średnikami.
Metoda kwartyli - zostaw interpolację typu 7, jeśli porównujesz wynik z Excelem lub R. Metodę Tukeya wybierz, gdy rysujesz wykres pudełkowy według klasycznej definicji.
Zaokrąglenie - opcja automatyczna dopasowuje liczbę miejsc do precyzji danych wejściowych. Możesz ją nadpisać, jeśli raportujesz wynik w ustalonym formacie.
Nazwa zbioru - pole opcjonalne, trafia wyłącznie do nagłówka wyniku i nie wpływa na żadne obliczenie.
Odczytaj wyniki - najpierw IQR i trzy kwartyle, potem tabelę granic odstawania, a na końcu porównanie odchylenia standardowego z IQR po odrzuceniu wartości odstających.

Tabela decyzyjna: którą metodę kwartyli wybrać

To jest jedyne miejsce, w którym kalkulatory potrafią się między sobą różnić. Nie ma jednej urzędowej definicji kwartyla, jest kilka konwencji, a przy małych próbach dają różne Q1 i Q3.

Metoda	Jak działa	Kiedy jej użyć	Q1 i Q3 dla przykładu
Interpolacja typu 7	Pozycja kwartyla liczona jako ułamek, wartość interpolowana między sąsiadami	Gdy wynik ma się zgadzać z Excelem, Arkuszami Google i domyślnym R	12,0 i 16,0
Metoda Tukeya	Zbiór dzielony na połowy, mediana wyłączona przy nieparzystej liczbie obserwacji	Do wykresu pudełkowego i klasycznej analizy eksploracyjnej	11,5 i 17,0
Mediana w obu połówkach	Jak wyżej, ale mediana wchodzi do dolnej i górnej połowy	Gdy podręcznik albo prowadzący wprost tak definiuje kwartyle	12,0 i 16,0

Kolumna z prawej dotyczy zbioru 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 47. IQR wychodzi odpowiednio 4,0, 5,5 i 4,0, czyli rozbieżność sięga 37,5 procent na dziewięciu obserwacjach. Przy dużych zbiorach różnice zanikają.

Przykłady z realnych zbiorów

Czasy realizacji zgłoszeń: 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 47 dni.
Q1 12,0, mediana 14,0, Q3 16,0, IQR 4,0. Granice: 6,0 i 22,0, poza nimi jedna obserwacja: 47.

Pensje w siedmioosobowym zespole: 4 200, 4 500, 4 800, 5 000, 5 200, 5 500, 12 000 zł.
IQR 700 zł przy odchyleniu standardowym 2 730,3 zł. Granica górna 6 400 zł, więc pensja prezesa wpada w odstające.

Czas dojazdu do pracy: 22, 24, 25, 25, 26, 27, 28 minut.
IQR 2,0, granice 21,5 i 29,5. Zero wartości odstających, rozkład jest zwarty.

Odczyty czujnika temperatury: 20,1, 20,3, 20,2, 20,4, 20,2, minus 5, 20,3 stopnia.
IQR 0,2, granice 19,9 i 20,5. Błędny zapis wychodzi natychmiast, a odchylenie standardowe 9,5 nie mówi o danych nic sensownego.

Ceny ofert mieszkań: od 420 do 510 tys. zł plus jedna oferta za 980 tys.
IQR 44,5, granica górna 560,3. Po odrzuceniu oferty odstającej odchylenie standardowe spada o 82,2 procent, a IQR o 7,9 procent.

Oceny z kolokwium: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6.
IQR 2,0, granice 0,0 i 8,0. Przy skali zamkniętej reguła 1,5 x IQR z zasady nie wskaże nikogo, bo cała skala mieści się w granicach.

Szybka ściągawka

Pojęcie	Wzór	Interpretacja
IQR	Q3 minus Q1	szerokość środkowych 50 procent obserwacji
Dolna granica	Q1 minus 1,5 x IQR	poniżej tej wartości obserwacja jest odstająca
Górna granica	Q3 plus 1,5 x IQR	powyżej tej wartości obserwacja jest odstająca
Wartość skrajna	poza Q1 minus 3 x IQR lub Q3 plus 3 x IQR	bardzo daleko od reszty, zwykle błąd zapisu
Rozstęp całkowity	max minus min	zależy od dwóch skrajnych obserwacji, bardzo wrażliwy
Pudełko na box plocie	od Q1 do Q3	wąsy sięgają do granic 1,5 x IQR

Pytania od użytkowników

Dlaczego mój Excel podaje inne Q1 niż ten kalkulator?

Bo funkcja KWARTYL i KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK używają interpolacji typu 7, a KWARTYL.PRZEDZ.OTW innej definicji. Ustaw w kalkulatorze interpolację typu 7, a wyniki się zgodzą. Przy metodzie Tukeya różnica jest normalna i nie jest błędem.

Czy wartość odstającą trzeba usunąć ze zbioru?

Nie. Reguła 1,5 x IQR wskazuje obserwacje do sprawdzenia, a nie do skasowania. Jeśli minus 5 stopni z czujnika to awaria, wyrzuć zapis. Jeśli pensja 12 000 zł jest prawdziwa, zostaje w danych, a Ty raportujesz medianę zamiast średniej.

Skąd wzięła się akurat liczba 1,5?

To konwencja zaproponowana przez Johna Tukeya przy okazji wykresu pudełkowego. Dla rozkładu normalnego granice 1,5 x IQR obejmują około 99,3 procent obserwacji, więc poza nie wypada mniej więcej 0,7 procent przypadków. Próg jest umowny, nie wynika z żadnego twierdzenia.

Co oznacza IQR równy zero?

Że co najmniej połowa obserwacji ma tę samą wartość. Dla zbioru 1, 2, 2, 2, 3 kwartyle wynoszą 2, IQR 0, a granice zwężają się do punktu, więc 1 i 3 zostają oznaczone jako odstające. To nie jest błąd kalkulatora, tylko sygnał, że reguła 1,5 x IQR nie pasuje do tak skoncentrowanych danych.

Ile obserwacji trzeba, żeby wynik miał sens?

Technicznie kalkulator policzy kwartyle już od jednej wartości, ale sensowna interpretacja zaczyna się mniej więcej od 8 obserwacji. Poniżej 4 metody połówek nie mają zastosowania i kalkulator sam przechodzi na interpolację, informując o tym w stopce wyniku.

IQR czy odchylenie standardowe? Co raportować?

Przy rozkładzie zbliżonym do symetrycznego i bez wyskoków obie miary działają, a odchylenie standardowe niesie więcej informacji. Gdy dane są skośne albo mają wartości odstające, IQR razem z medianą opisują zbiór uczciwiej. W przykładzie z cenami mieszkań usunięcie jednej oferty zmienia odchylenie standardowe o 82,2 procent, a IQR o 7,9 procent.

Czy IQR działa na danych porządkowych, na przykład ocenach?

Tak, bo do jego wyznaczenia wystarczy uporządkować obserwacje. Trzeba jednak pamiętać, że przy skali zamkniętej i wąskiej, jak oceny od 1 do 6, granice odstawania zwykle wychodzą poza skalę i reguła nikogo nie wskaże.