Kalkulator Testu Tukeya - HSD i Porównania Par Średnich

Test Tukeya HSD: które pary średnich naprawdę się różnią

Cztery grupy po pięć pomiarów, średnie 5,34, 7,72, 8,56 i 5,50. Analiza wariancji mówi tylko, że gdzieś jest różnica. Test Tukeya rozstrzyga gdzie: z sześciu par istotne są cztery, a grupy 1 i 4 oraz 2 i 3 nie różnią się od siebie. Wszystkie porównania liczone są naraz, przy łącznym ryzyku błędu 5 %. Kalkulator przyjmuje surowe pomiary, statystyki grup albo średnie razem z MSE z gotowej tabeli ANOVA i zwraca wartość krytyczną q, HSD, przedziały jednoczesne i wartość p dla każdej pary.

4,65

q(0,05) dla 5 grup i 10 stopni swobody

45 par

przy 10 grupach, wszystkie w jednym teście

q = √2 · t

przy dwóch grupach Tukey to zwykły test t

Trzy sposoby podania danych

Rodzaj danych - surowe pomiary, statystyki grup (liczebność, średnia, odchylenie) albo średnie z MSE, gdy masz już tabelę ANOVA z programu statystycznego.
Pomiary albo statystyki grup - każda grupa w osobnej linii. Pomiary oddzielasz spacją lub średnikiem (G1: 6,9 5,4 5,8 4,6 4,0), statystyki średnikiem (5; 5,34; 1,117), a w trybie z MSE wystarczy 5; 5,34.
MSE i stopnie swobody błędu - tylko w trybie z tabeli ANOVA: wiersz „wewnątrz grup” albo „błąd”, kolumny MS i df. W jednoczynnikowej ANOVA df błędu to N - k.
Poziom istotności - łączne ryzyko błędu dla wszystkich par naraz, zwykle 0,05.
Odczytaj wyniki - liczbę istotnych par, q krytyczne i HSD na kafelku, potem tabelę par z przedziałem, q, p i wnioskiem.

Studentyzowany rozstęp w kilku zdaniach

Weź k średnich z grup tej samej wielkości i odejmij najmniejszą od największej. Ten rozstęp podzielony przez oszacowanie odchylenia standardowego średniej daje statystykę q, czyli studentyzowany rozstęp. Rozkład q zależy od dwóch liczb: liczby grup k i stopni swobody błędu. Podręcznik NIST/SEMATECH podaje przykład: dla pięciu obserwacji z rozkładu normalnego i odchylenia szacowanego z 10 stopni swobody rozstęp z prawdopodobieństwem 0,95 nie przekracza 4,65 odchylenia.

Test Tukeya korzysta z tej granicy dla każdej pary: różnica dwóch średnich jest istotna, gdy przekracza HSD = q · √(MSE / n), czyli „uczciwie istotną różnicę” (ang. honestly significant difference). Ponieważ próg dotyczy największego możliwego rozstępu, chroni wszystkie pary jednocześnie. Przy nierównych grupach stosuje się wariant Tukeya-Kramera, w którym błąd każdej pary liczy się osobno: √(MSE / 2 · (1/nᵢ + 1/nⱼ)).

Przy równych grupach łączne ryzyko błędu wynosi dokładnie α. Przy nierównych jest mniejsze, bo metoda jest wtedy zachowawcza, co również zaznacza podręcznik NIST. Wartości q kalkulator wylicza algorytmem Copenhavera i Hollanda (1988), tym samym, z którego korzysta funkcja ptukey w pakiecie R.

Wartości krytyczne q przy α = 0,05

Wiersze to stopnie swobody błędu, kolumny to liczba grup. Wartości z tablicy studentyzowanego rozstępu (Table B.5, dwa miejsca po przecinku). Kalkulator odtwarza wszystkie 396 komórek tej tablicy dla α 0,05 i 0,01 w granicach zaokrąglenia.

df błędu	k = 2	3	4	5	6	8	10
5	3,64	4,60	5,22	5,67	6,03	6,58	6,99
10	3,15	3,88	4,33	4,65	4,91	5,30	5,60
16	3,00	3,65	4,05	4,33	4,56	4,90	5,15
20	2,95	3,58	3,96	4,23	4,45	4,77	5,01
30	2,89	3,49	3,85	4,10	4,30	4,60	4,82
60	2,83	3,40	3,74	3,98	4,16	4,44	4,65
nieskończenie wiele	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,29	4,47

Przykład z podręcznika NIST: sześć par, dwa werdykty

Dane z przykładu w rozdziale 7.4 podręcznika NIST/SEMATECH, cztery grupy po pięć pomiarów. MSE = 1,3307, 16 stopni swobody, q(0,05; 4; 16) = 4,0461, HSD = 2,0874. Przedziały z kalkulatora pokrywają się z przedziałami w podręczniku po zaokrągleniu do dwóch miejsc.

Para	Różnica	Przedział 95 %	p	Interpretacja
1 - 2	-2,380	-4,467 do -0,293	0,0228	różnica istotna
1 - 3	-3,220	-5,307 do -1,133	0,0022	różnica istotna
1 - 4	-0,160	-2,247 do 1,927	0,9961	przedział obejmuje 0
2 - 3	-0,840	-2,927 do 1,247	0,6645	przedział obejmuje 0
2 - 4	2,220	0,133 do 4,307	0,0352	różnica istotna
3 - 4	3,060	0,973 do 5,147	0,0035	różnica istotna

Czego nie widać na pierwszy rzut oka

Dwie grupy to zwykły test t. Przy k = 2 próg q równa się √2 razy wartość krytyczna t. Dla 4 stopni swobody q = 3,9265, a √2 · 2,7764 daje to samo. Przy nieskończenie wielu stopniach swobody wychodzi 2,7718, czyli 1,96 · √2.

Każda dodatkowa grupa podnosi poprzeczkę. Przy dużej liczbie stopni swobody q wynosi 3,31 dla trzech grup i 4,47 dla dziesięciu, więc ta sama różnica średnich musi być o mniej więcej 35 % większa, żeby przejść test. To cena za ochronę 45 porównań naraz.

Nierówne grupy, osobny błąd dla każdej pary. W przykładzie z kukurydzą (grupy 13, 16 i 14, MSE 17 964,36) para A-C ma q = 4,738 i p = 0,0049, para B-C q = 4,753 i p = 0,0048, choć różnica B-C jest mniejsza. Większe grupy dają mniejszy błąd różnicy.

„Brak różnicy” nie znaczy „równe”. Para 1-4 w przykładzie NIST ma różnicę tylko -0,160, ale przedział biegnie od -2,247 do 1,927. Dane nie wykluczają więc różnicy ponad dwóch jednostek w żadną stronę. Szerokość przedziału mówi o precyzji więcej niż samo p = 0,9961.

Jak czytać tabelę porównań

Co widzisz	Co to znaczy
Przedział nie obejmuje zera, p < α	średnie się różnią, znak różnicy mówi, która jest większa
Przedział obejmuje zero, p ≥ α	brak dowodu różnicy, co nie oznacza, że średnie są równe
p tuż pod progiem, szeroki przedział	różnica niepewna co do wielkości, warto podać sam przedział

Wynik zakłada niezależne obserwacje, rozkład zbliżony do normalnego i podobne wariancje grup. Przy wyraźnie różnych wariancjach albo danych porządkowych lepszy będzie inny test, a decyzję o znaczeniu różnicy w praktyce trzeba oprzeć na wiedzy o badanym zjawisku, nie na samym p.

Test Tukeya w pytaniach

Czy test Tukeya trzeba robić dopiero po istotnej ANOVA?

Tak się go najczęściej stosuje: najpierw analiza wariancji, potem pary. Kalkulator pokazuje F dla tych samych grup obok wyników par, więc oba wyniki widać naraz. Ważne, żeby porównać wszystkie pary, a nie wybierać po fakcie tylko te, które wyglądają obiecująco.

Jak obliczyć HSD?

HSD = q · √(MSE / n), gdzie q odczytujesz dla liczby grup i stopni swobody błędu, a n to liczebność jednej grupy. W przykładzie NIST: 4,0461 · √(1,3307 / 5) = 2,0874. Każda różnica średnich większa od tej liczby jest istotna.

Czym różni się Tukey od poprawki Bonferroniego?

Bonferroni dzieli α przez liczbę porównań i do każdej pary stosuje zwykły test t. Tukey korzysta z rozkładu rozstępu, który uwzględnia, że porównania są ze sobą powiązane. W przykładzie NIST (6 par, 16 stopni swobody) różnica średnich musi przekroczyć 2,195 według Bonferroniego i 2,087 według Tukeya, więc Tukey stawia tu niższą poprzeczkę.

Skąd wziąć MSE, gdy mam tylko wydruk z programu?

Z tabeli analizy wariancji: wiersz opisany jako „wewnątrz grup”, „błąd”, „Within” albo „Error”, kolumna MS lub „średni kwadrat”. Obok jest df tego wiersza. Wybierz tryb „średnie i MSE z tabeli ANOVA” i wpisz te dwie liczby oraz liczebności i średnie grup.

Czy Tukey nadaje się do danych porządkowych?

Nie. Test porównuje średnie i zakłada rozkład zbliżony do normalnego. Dla ocen w skali czy silnie skośnych pomiarów właściwym zestawem jest test Kruskala-Wallisa z porównaniami Dunna.

Dlaczego p jest podane jako „< 0,0001”?

Kalkulator podaje p z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Mniejsze wartości zapisuje jako „< 0,0001”, bo przy takiej różnicy wniosek jest ten sam niezależnie od kolejnych cyfr.