Szóstka w 6 rzutach to 66,51%: 5 błędów w liczeniu szans

Sześć rzutów kostką, sześć ścianek, jedna szóstka. Skoro szansa w jednym rzucie to jedna szósta, to po sześciu rzutach szóstka musi wypaść. Brzmi jak prosta arytmetyka.

Tyle że to nieprawda. Prawdopodobieństwo, że w sześciu rzutach wypadnie przynajmniej jedna szóstka, wynosi 66,51%. Mniej więcej co trzecia seria sześciu rzutów (33,49%) kończy się bez ani jednej szóstki. To nie pech, tylko schemat Bernoulliego.

Ten błąd ma kilku krewnych. Średnio 4 zgłoszenia na godzinę, a dokładnie 4 zdarzają się tylko w 19,54% godzin. Autobus jeździ średnio co 15 minut, a połowa oczekiwań kończy się szybciej niż po 10,4 minuty. Wszystkie trzy wyniki da się policzyć w minutę, jeśli wiadomo, który rozkład pasuje do pytania. O tym jest ten tekst: o prawdopodobieństwie w praktyce, o pięciu błędach, które powtarzają się przy liczeniu szans, i o trzech kalkulatorach, które je wyłapują.

Prawdopodobieństwo, że coś wypadnie przynajmniej raz: jak to policzyć?

Zacznijmy od kostki, bo na niej najłatwiej zobaczyć mechanizm. Każdy rzut jest niezależny, a szansa na szóstkę w każdym wynosi 1/6. To dokładnie warunki schematu Bernoulliego: n prób, w każdej ta sama szansa sukcesu p, wynik jednej próby nie wpływa na następną.

Pytanie „czy wypadnie przynajmniej jedna szóstka” najprościej odwrócić. Szansa, że w jednym rzucie szóstki nie będzie, to 5/6. W sześciu rzutach z rzędu: (5/6)⁶ = 33,49%. Przynajmniej jedna szóstka to wszystko poza tym, czyli 1 - 0,3349 = 66,51%. Kalkulator podaje to też jako ułamek dokładny: 31031/46656.

Skąd w ogóle bierze się błędne „100%”? Z dodawania. Ktoś liczy 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 i wychodzi mu jedność. Tylko że dodawać można szanse zdarzeń, które się wykluczają, a szóstka w pierwszym rzucie wcale nie wyklucza szóstki w drugim. Gdyby ta metoda działała, w dziesięciu rzutach szansa wyniosłaby 166,67%, co jest już jawnym absurdem.

Tabela pokazuje, jak naprawdę rośnie szansa na szóstkę z każdym rzutem, obok „szansy” liczonej dodawaniem.

Do 90% pewności, że szóstka wypadnie, potrzeba 13 rzutów, nie sześciu. I nawet wtedy prawie co dziesiąta seria (9,35%) obejdzie się bez niej.

Z monetą jest tak samo, tylko szybciej, bo orzeł ma szansę 1/2. Przy dwóch rzutach przynajmniej jeden orzeł wypada w 75% przypadków, przy trzech w 87,5%, przy pięciu w 96,88%, a przy dziesięciu w 99,90%. Te same liczby są na gotowych stronach kalkulatora, linki znajdziesz niżej.

Średnia to nie najczęstszy wynik: rozkład Poissona

Drugi rodzaj pytań nie dotyczy liczby prób, tylko liczby zdarzeń w czasie. Ile zgłoszeń wpłynie w ciągu godziny, ile samochodów przejedzie przez skrzyżowanie w minutę, ile wiadomości przyjdzie do skrzynki przez dzień. Jeśli zdarzenia są od siebie niezależne i średnio jest ich tyle samo w każdym okresie, ich liczbę opisuje rozkład Poissona. Wystarczy jedna liczba: średnia λ.

I tu pojawia się drugi błąd. Skoro średnio są 4 zgłoszenia na godzinę, to „zwykle są cztery”. Kalkulator mówi co innego: dokładnie 4 zgłoszenia zdarzają się w 19,54% godzin, mniej więcej raz na pięć. Tyle samo wynosi szansa na dokładnie 3. Pozostałe cztery piąte godzin to inne liczby, od pustej (1,832%) po osiem i więcej (5,113%).

Rozsądniejsze pytanie niż „ile dokładnie” brzmi „w jakim przedziale”. Od 3 do 5 zgłoszeń przy średniej 4 to już 54,70% godzin. Jeśli planujesz obsadę dyżuru, to ten przedział i ogon powyżej 7 interesują Cię bardziej niż sama średnia.

Liczba okresów też ma znaczenie. Przy średnio 0,5 zdarzenia na godzinę przez 8 godzin średnia rośnie do 4, a szansa, że w ciągu dniówki zdarzy się przynajmniej jedno, wynosi 98,17%. Rzadkie w skali godziny bywa prawie pewne w skali dnia.

Ile poczekasz: rozkład wykładniczy i czas między zdarzeniami

Rozkład Poissona liczy zdarzenia w okresie, a rozkład wykładniczy odpowiada na pytanie odwrotne: ile czasu minie do następnego. To dwie strony tego samego procesu. Jeśli zgłoszenia przychodzą średnio co 15 minut, kalkulator rozkładu wykładniczego pokazuje, jak rozkładają się czasy oczekiwania.

Tu kryje się trzeci błąd: przekonanie, że średni czas oczekiwania jest typowym czasem. Przy średniej 15 minut mediana wynosi 10,4 minuty, a 63,21% oczekiwań kończy się szybciej niż średnia. Średnią podbijają rzadkie, długie przerwy. Szansa, że trzeba będzie czekać dłużej niż 30 minut, to 13,53%, mniej więcej jedno oczekiwanie na siedem.

Tabela poniżej to ta sama, którą kalkulator pokazuje pod wynikiem. Prawa kolumna działa dla każdej średniej: wystarczy pomnożyć ją przez swój średni czas.

Chcesz mieć 90% pewności, że coś się wydarzy? Przy średniej 15 minut trzeba założyć 34,54 minuty, czyli ponad dwa razy więcej. Przy 99% to już 69,08 minuty. Średnia jest dobra do rachunków w długim okresie, do planowania z zapasem trzeba patrzeć na tę tabelę.

Który rozkład do którego pytania?

Trzy kalkulatory wyglądają podobnie, bo każdy zwraca procent. Różnią się tym, o co pytasz, i to rozstrzyga wybór, zanim wpiszesz pierwszą liczbę.

Jeśli masz określoną liczbę prób i w każdej to samo „tak albo nie”, to schemat Bernoulliego. Rzuty kostką, rzuty monetą, odpowiedzi strzelane na teście z czterema wariantami, kolejne strzały na bramkę przy tej samej skuteczności. Znasz n i p, pytasz o liczbę sukcesów.

Jeśli prób nie da się policzyć, a znasz tylko średnią liczbę zdarzeń w okresie, to rozkład Poissona. Nikt nie liczy „prób” wpłynięcia zgłoszenia ani „prób” przejazdu samochodu. Jest godzina, dzień albo kilometr i średnia, ile razy coś się w nim dzieje.

Jeśli pytasz o czas albo odległość do następnego zdarzenia, a nie o ich liczbę, to rozkład wykładniczy. Ta sama średnia z Poissona, tylko odwrócona: 4 zdarzenia na godzinę to średnio jedno co 15 minut.

Granica między pierwszymi dwoma bywa płynna. Przy bardzo wielu próbach i bardzo małej szansie w każdej schemat Bernoulliego daje prawie to samo co Poisson ze średnią n × p, i właśnie dlatego Poisson sprawdza się przy rzadkich zdarzeniach. Kalkulator Bernoulliego sam podpowiada to przybliżenie w stopce wyniku, gdy n wynosi co najmniej 50, p najwyżej 0,1, a średnia nie przekracza 10.

Jedno pytanie kontrolne pomaga zawsze: czy wiem, ile było prób? Jeśli tak, Bernoulli. Jeśli znam tylko średnią na okres, Poisson. Jeśli pytam „kiedy”, rozkład wykładniczy.

Pięć przykładów policzonych w kalkulatorach

Dziesięć rzutów monetą: ile orłów?

Dokładnie 5 orłów na 10 rzutów wypada w 24,61% przypadków, czyli rzadziej niż raz na trzy. Od 4 do 6 orłów to już 65,63%. „Równo pół na pół” jest najczęstszym pojedynczym wynikiem, ale wcale nie typowym.

Gra planszowa: szóstka na start

Gra wymaga szóstki, żeby wyjść pionkiem. Po czterech rzutach szansa, że już się udało, to 51,77%, czyli mniej więcej rzut monetą. Po dwunastu rzutach 88,78%, więc w co dziewiątej grze ktoś będzie czekał dłużej.

Dyżur telefoniczny: godzina bez zgłoszeń

Przy średnio 4 zgłoszeniach na godzinę godzina zupełnej ciszy zdarza się w 1,832% przypadków, mniej więcej raz na 55 godzin. Za to godzina z 8 i więcej zgłoszeniami ma szansę 5,113%, mniej więcej raz na 20. Do planowania obsady ważniejsza jest ta druga liczba.

Czekanie na zgłoszenie: krócej niż 5 minut

Przy średniej co 15 minut następne zgłoszenie przyjdzie w ciągu 5 minut z prawdopodobieństwem 28,35%, a między 10. a 20. minutą z prawdopodobieństwem 24,98%. Krótkie przerwy są częstsze, niż podpowiada średnia.

Czekam już kwadrans. Czy teraz pójdzie szybciej?

Nie. To czwarty błąd i najbardziej uparty. Rozkład wykładniczy nie ma pamięci: jeśli czekasz już 15 minut, szansa, że poczekasz jeszcze co najmniej 15, wynosi tyle samo, co na starcie, czyli 36,79%. Tak samo z kostką: sześć rzutów bez szóstki nie zwiększa szansy na szóstkę w siódmym. Wciąż wynosi 16,67%.

Najczęstsze błędy w liczeniu prawdopodobieństwa

1. Dodawanie szans zamiast liczenia przeciwieństwa. Sześć razy 1/6 to nie 100%. Dla „przynajmniej raz” licz szansę, że nie wydarzy się ani razu, i odejmij od jedności. Sześć rzutów: 1 - (5/6)⁶ = 66,51%.

2. Mylenie „dokładnie”, „co najwyżej” i „co najmniej”. Dla sześciu rzutów kostką i jednej szóstki to trzy różne liczby: dokładnie jedna szóstka 40,19%, co najwyżej jedna 73,68%, co najmniej jedna 66,51%. Pomyłka w trybie potrafi przesunąć wynik o kilkadziesiąt punktów procentowych, dlatego kalkulator pokazuje wszystkie trzy obok siebie.

3. Traktowanie średniej jak wyniku, który „zwykle” wychodzi. Średnio 4 zdarzenia na godzinę, a dokładnie 4 tylko w 19,54% godzin. Średnio 15 minut czekania, a w 63,21% przypadków krócej.

4. Wiara, że „teraz już musi”. Niezależne próby i procesy bez pamięci nie wyrównują rachunków. Seria bez szóstki nie zwiększa szansy w kolejnym rzucie, a długie czekanie nie skraca dalszego czekania.

5. Liczenie na modelu, który nie pasuje do sytuacji. Schemat Bernoulliego wymaga stałej szansy i niezależnych prób, Poisson i rozkład wykładniczy stałej średniej intensywności. Kolejka w godzinach szczytu, gdzie zgłoszenia przychodzą falami, albo urządzenie, które się zużywa, łamią te założenia. Wtedy wynik jest przybliżeniem, a nie odpowiedzią.

Pięć zasad na koniec

1. Przy „przynajmniej raz” licz przeciwieństwo: 1 minus szansa, że nie wydarzy się nigdy.
2. Przed liczeniem nazwij pytanie: dokładnie k, co najwyżej k czy co najmniej k.
3. Patrz na przedziały, nie na jeden wynik. Od 3 do 5 zdarzeń przy średniej 4 to więcej niż połowa przypadków.
4. Do planowania z zapasem bierz kwantyl, nie średnią: 90% oczekiwań przy średniej 15 minut mieści się w 34,54 minuty.
5. Sprawdź założenia modelu, zanim zaufasz liczbie.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator Schematu Bernoulliego liczy prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach: dokładnie, co najwyżej, co najmniej albo w przedziale. Szansę p przyjmuje jako ułamek, liczbę dziesiętną albo procent i podaje wynik dokładny jako ułamek nieskracalny, razem z tabelą całego rozkładu.

Gotowe wyliczenia z wpisanymi danymi: rzucamy 2 razy monetą, 3 razy, 4 razy, 5 razy, 6 razy, 7 razy, 8 razy i 10 razy monetą, a dla kostki szóstka w 2 rzutach, w 3 rzutach, w 4 rzutach, w 5 rzutach i w 6 rzutach kostką.

Kalkulator Rozkładu Poissona liczy, ile zdarzeń wypadnie w okresie, gdy znasz tylko średnią λ: dokładnie k, co najwyżej, co najmniej albo w przedziale, także dla kilku okresów naraz.

Kalkulator Rozkładu Wykładniczego liczy, ile poczekasz na następne zdarzenie przy znanej średniej: szansę przed czasem t, po nim albo w przedziale oraz czas, w którym zdarzenie nastąpi z wybraną pewnością.

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Prawdopodobieństwa Lotto · Kalkulator Prawdopodobieństwa Warunkowego · Kalkulator Testu Fishera · Kalkulator Testu Wilcoxona · Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego · Kalkulator Mody i Dominanty · Kalkulator Percentyla · Kalkulator Współczynnika Zmienności · Kalkulator Korelacji Pearsona · Kalkulator Skośności Rozkładu · Kalkulator Kurtozy · Kalkulator Regresji Liniowej · Kalkulator Współczynnika Determinacji R² · Kalkulator Z-score · Kalkulator Testu t Jednopróbowego · Kalkulator Testu t Dwupróbowego · Kalkulator Wartości p · Kalkulator Testu z · Kalkulator Chi-kwadrat · Kalkulator Wielkości Próby · Kalkulator Przedziału Ufności · Kalkulator Błędu Standardowego Średniej · Kalkulator Kwartyli z Szeregu Rozdzielczego

Pełna lista jest na stronie kategorii Statystyka.