Kalkulator Prawdopodobieństwa Warunkowego

Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa z wynikiem w ułamku

Dwie urny, test na rzadką chorobę, tabela z ankiety - trzy typowe zadania, jeden rachunek. Kalkulator liczy P(A | B) z tabeli liczebności albo ze wzoru, prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa dla 2 lub 3 hipotez oraz wartość predykcyjną testu z czułości i swoistości. Dane wpisujesz jako ułamek (1/3), liczbę dziesiętną (0,25) albo procent (25%), a wynik wraca jako ułamek nieskracalny i rozwinięcie dziesiętne. Dla urny z 3 białymi kulami na 10 i drugiej z 4 na 10 szansa wylosowania białej wynosi 7/20.

Pięć rodzajów zadań - jak je wpisać

Rodzaj zadania - tabela liczebności 2 × 2, wzór P(A ∩ B) / P(B), wzór Bayesa z 2 albo 3 hipotezami, test diagnostyczny.
Tabela liczebności - cztery liczby: A i B, A bez B, B bez A, ani A, ani B. Na przykład 30, 20, 10, 40 osób z ankiety.
Wzór - P(A ∩ B) i P(B), a opcjonalnie P(A), jeśli chcesz też P(B | A) i sprawdzenie niezależności.
Hipotezy - P(H) i P(A | H) dla każdej. Przy dwóch hipotezach P(H2) możesz zostawić puste, wtedy kalkulator weźmie 1 - P(H1).
Test diagnostyczny - częstość choroby w badanej grupie, czułość i swoistość testu, zwykle w procentach.
Odczytaj wyniki - duży kafelek z główną odpowiedzią, kafelki z pokrewnymi prawdopodobieństwami i tabela z całym rachunkiem.

P(A | B) czy P(B | A)? Dwa pytania, które łatwo pomylić

Najczęstszy błąd przy prawdopodobieństwie warunkowym to odwrócenie kierunku. W tabeli z ankiety (30, 20, 10, 40) obie wartości wychodzą zupełnie inne:

Parametr	P(A \| B)	P(B \| A)
Pytanie	wiem, że zaszło B; jaka szansa na A?	wiem, że zaszło A; jaka szansa na B?
Mianownik	wszystkie przypadki B: 40	wszystkie przypadki A: 50
Wynik	30/40 = 3/4	30/50 = 3/5
Kiedy go potrzebujesz	znasz cechę B, przewidujesz A	znasz A, pytasz o częstość B w tej grupie
Werdykt	Równe tylko wtedy, gdy P(A) = P(B). Przejście z jednego na drugie to właśnie wzór Bayesa.

Bez żadnego warunku P(A) = 1/2. Skoro P(A | B) = 3/4, zdarzenia są zależne: informacja o B podnosi szansę na A. Dla porównania P(A | nie B) = 1/3.

Trzy wzory i trzy zadania z pełnym rachunkiem

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A) = P(H1) × P(A | H1) + P(H2) × P(A | H2) + ...

P(H1 | A) = P(H1) × P(A | H1) / P(A)

Rzut kostką. A: wynik podzielny przez 3, czyli {3, 6}, P(A) = 1/3. B: wynik parzysty, P(B) = 1/2. Część wspólna to tylko szóstka, P(A ∩ B) = 1/6. Stąd P(A | B) = (1/6) : (1/2) = 1/3, dokładnie tyle co P(A), więc zdarzenia są niezależne. P(A ∪ B) = 2/3.

Dwie urny. Rzut monetą wybiera urnę: I ma 3 białe kule na 10, II ma 4 na 10. P(biała) = 1/2 × 3/10 + 1/2 × 2/5 = 3/20 + 1/5 = 7/20. Wylosowano białą: szansa, że z urny I, to (3/20) : (7/20) = 3/7, a z urny II 4/7.

Trzy maszyny. Produkują 50 %, 30 % i 20 % detali, z wadami odpowiednio 2 %, 3 % i 5 %. Wadliwych jest razem 29/1000, czyli 2,90 %. Wadliwy detal pochodzi z maszyny I z szansą 10/29, z II 9/29, z III także 10/29. Najmniejsza maszyna, przez najwyższą wadliwość, ma tyle samo „winy” co największa.

Test na rzadką chorobę: czułość 99 % to nie 99 % pewności

Tryb testu diagnostycznego to wzór Bayesa w najbardziej praktycznym wydaniu. Wartość predykcyjna dodatnia (PPV) mówi, jaka część wyników dodatnich to naprawdę chorzy, a zależy nie tylko od testu, ale i od tego, jak częsta jest choroba w badanej grupie. Tabela pokazuje ten sam test przy różnej częstości:

Częstość, czułość, swoistość	Prawdziwie dodatnie na 10 000	Fałszywie dodatnie na 10 000	PPV	NPV
1 %, 99 %, 95 %	99	495	16,67 %	99,99 %
10 %, 99 %, 95 %	990	450	68,75 %	99,88 %
1 %, 99 %, 99,9 %	99	10	90,91 %	99,99 %

Przy chorobie występującej u 1 % badanych test o czułości 99 % i swoistości 95 % daje 594 wyniki dodatnie na 10 000 osób, z czego chorych jest tylko 99. Stąd PPV 16,67 %. Podniesienie swoistości do 99,9 % zmienia obraz całkowicie: fałszywych alarmów zostaje 10. To są przykłady rachunkowe, nie parametry konkretnego testu, a wynik badania zawsze interpretuje lekarz.

Błędy, które psują wynik

Odwrócony warunek. P(pozytywny test | choroba) to czułość, a P(choroba | pozytywny test) to PPV. W przykładzie wyżej to 99 % i 16,67 %. Najpierw ustal, co jest „wiadome”, i to zdarzenie idzie do mianownika.

Hipotezy, które się nie sumują do 1. Prawdopodobieństwo całkowite działa tylko dla hipotez, które wykluczają się nawzajem i pokrywają wszystkie możliwości. Kalkulator odmawia liczenia, gdy suma P(H) nie wynosi dokładnie 1.

Mnożenie zamiast dzielenia. P(A ∩ B) = P(A) × P(B) obowiązuje wyłącznie dla zdarzeń niezależnych. W ogólnym przypadku P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B).

Zaokrąglanie w połowie rachunku. 1/3 zapisane jako 0,33 i przemnożone dwa razy daje już inny wynik niż ułamek. Dlatego kalkulator liczy na ułamkach dokładnych i zaokrągla dopiero na końcu.

Część wspólna większa niż zdarzenie. P(A ∩ B) = 0,7 przy P(B) = 0,5 to błąd w danych, bo część wspólna zawiera się w B. Kalkulator zgłasza taką sprzeczność zamiast zwracać wynik powyżej 1.

Pytania z zadań i z życia

Jak obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe z tabeli?

Weź liczbę przypadków, w których zaszło A i B, i podziel przez liczbę wszystkich przypadków B. Dla tabeli 30, 20, 10, 40 to 30 / 40 = 3/4. Resztę tabeli kalkulator dopełni sam.

Kiedy stosować wzór Bayesa, a kiedy prawdopodobieństwo całkowite?

Całkowite odpowiada na pytanie „jaka jest szansa na A”, gdy A może zajść na kilka sposobów (z urny I albo II). Bayes odpowiada na pytanie odwrotne: „A już zaszło, którą drogą najpewniej?”. W zadaniu z urnami to 7/20 i 3/7.

Jak sprawdzić, czy zdarzenia są niezależne?

Porównaj P(A ∩ B) z iloczynem P(A) × P(B) albo P(A | B) z P(A). Przy kostce 1/6 = 1/3 × 1/2, więc zdarzenia są niezależne. W tabeli z ankiety 3/4 ≠ 1/2, więc zależne.

Czym się różni czułość od wartości predykcyjnej dodatniej?

Czułość to odsetek chorych, u których test wychodzi dodatni. PPV to odsetek osób z wynikiem dodatnim, które naprawdę chorują. Czułość jest cechą testu, PPV zależy też od częstości choroby w badanej grupie: ten sam test ma PPV 16,67 % przy częstości 1 % i 68,75 % przy 10 %.

Czy mogę wpisać dane w procentach?

Tak. Pola prawdopodobieństw przyjmują 25%, 0,25 i 1/4, a wszystkie trzy zapisy dają ten sam wynik. Tylko tabela liczebności przyjmuje liczby całkowite.

Powiązane narzędzia

Kalkulator Oświetlenia Terrarium

Harmonogram timera na 12 miesięcy, strefa UVB i koszt prądu lamp dla 18 gatunków gadów - Zobacz kalkulator

Kalkulator Prawdopodobieństwa Lotto

Szansa na każdy stopień w Lotto, Mini Lotto i Eurojackpot, także przy grze systemem - Zobacz kalkulator

Kalkulator Prawdopodobieństwa

Zdarzenie pojedyncze, niezależne, suma zdarzeń i powtórzenia - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Fishera

Czy zależność w tabeli 2 × 2 jest istotna statystycznie - Zobacz kalkulator

Kalkulator Chi-kwadrat

Test niezależności dla większych tabel liczebności - Zobacz kalkulator

Kalkulator Kombinacji i Permutacji

Liczba układów potrzebna do klasycznej definicji prawdopodobieństwa - Zobacz kalkulator

Kalkulator Przedziału Ufności

Niepewność odsetka, np. czułości testu policzonej na próbie - Zobacz kalkulator

Kalkulator Prawdopodobieństwa Warunkowego - Wzór Bayesa

Parametry