Kalkulator Chi-kwadrat - Test Niezależności i Zgodności

Test chi-kwadrat z tabeli liczebności - atlas niezależności i zgodności

Tabela krzyżowa wklejona wiersz pod wierszem wystarczy, żeby sprawdzić, czy dwie cechy są ze sobą powiązane. Kalkulator liczy liczebności oczekiwane, statystykę chi-kwadrat, stopnie swobody, wartość p, V Craméra i reszty skorygowane, które pokazują, gdzie dokładnie leży różnica. Tabela 45 30 i 25 50 daje χ² = 10,714, p = 0,0011 i V Craméra 0,267, czyli związek istotny, ale słaby.

Drugi tryb to test zgodności: jedna lista liczebności porównana z rozkładem równomiernym albo z zadanymi proporcjami, na przykład z rzutami kostką czy stosunkiem 9 : 3 : 3 : 1 z genetyki.

minimalna liczebność oczekiwana w komórce, zwyczajowy próg

(w - 1)(k - 1)

stopnie swobody w teście niezależności

χ² = z²

dla tabeli 2 × 2 bez poprawki Yatesa

Podstawy: co porównuje test chi-kwadrat Pearsona

Test odpowiada na pytanie, czy liczebności, które widzisz, mogłyby się pojawić przypadkiem, gdyby cechy były od siebie niezależne. Najpierw kalkulator buduje świat bez związku: w każdej komórce liczebność oczekiwana to suma wiersza razy suma kolumny, podzielona przez liczbę wszystkich obserwacji. W tabeli 45 30 / 25 50 pierwszy wiersz i pierwsza kolumna mają sumy 75 i 70, N = 150, więc oczekiwane jest 75 × 70 / 150 = 35. Zaobserwowano 45.

Potem dla każdej komórki liczy się kwadrat różnicy między obserwacją a oczekiwaniem, podzielony przez oczekiwanie, i sumuje wszystko w jedną liczbę. To jest statystyka χ² = Σ (O - E)² / E. Im dalej dane od niezależności, tym większa suma. Czy jest „duża”, rozstrzyga rozkład chi-kwadrat o (wiersze - 1) × (kolumny - 1) stopniach swobody: tyle komórek można wypełnić dowolnie, zanim sumy brzegowe wymuszą resztę.

W teście zgodności zasada jest ta sama, tylko oczekiwania biorą się nie z sum brzegowych, lecz z założonego rozkładu. Przy 60 rzutach uczciwą kostką oczekuje się 10 wyników na każdą ściankę, przy stosunku 9 : 3 : 3 : 1 i 556 obserwacjach odpowiednio 312,75, 104,25, 104,25 i 34,75. Stopni swobody jest o jeden mniej niż kategorii.

Test ma dwa twarde założenia. Każda obserwacja trafia do dokładnie jednej komórki, a obserwacje są od siebie niezależne. Pomiar tej samej osoby przed i po nie spełnia tego warunku i wymaga innego testu. Drugie założenie to wystarczające liczebności oczekiwane, bo rozkład chi-kwadrat jest tylko przybliżeniem.

Jak wykonać test chi-kwadrat krok po kroku

Rodzaj testu - niezależność, gdy masz tabelę krzyżową dwóch cech, albo zgodność, gdy masz jedną listę liczebności i rozkład, z którym ją porównujesz.
Tabela liczebności - każdy wiersz w osobnej linii, liczby w wierszu rozdzielone spacją, tabulatorem albo średnikiem. Tabelę skopiowaną z arkusza wystarczy wkleić. Rozmiar od 2 × 2 do 10 × 10.
Poprawka Yatesa - opcjonalna, działa tylko dla tabeli 2 × 2. Zmniejsza każdą różnicę |O - E| o 0,5 i daje ostrożniejszy wynik.
Liczebności obserwowane - w teście zgodności lista liczb, na przykład 8 12 9 11 6 14 dla sześciu ścianek kostki.
Rozkład oczekiwany - równomierny albo zadane proporcje. Proporcje wpisujesz w procentach (50 30 20) albo jako stosunek (9 3 3 1), kalkulator sam je unormuje.
Poziom istotności - najczęściej 0,05.
Odczytaj wyniki - χ², stopnie swobody, wartość p z decyzją, wartość krytyczna, V Craméra albo w Cohena, najmniejsza liczebność oczekiwana, tabela obserwowanych i oczekiwanych oraz reszty.

Tabela 1: dziesięć tabel liczebności i ich wyniki

Każdy wiersz to osobne uruchomienie kalkulatora przy α = 0,05. W tabelach krzyżowych kreska ukośna oddziela wiersze. Kolumna z efektem podaje V Craméra dla niezależności i w Cohena dla zgodności.

Dane	df	χ²	p	Efekt	Decyzja
45 30 / 25 50	1	10,714	0,0011	0,267	związek
To samo z poprawką Yatesa	1	9,670	0,0019	0,254	związek
90 60 / 50 100 (dwa razy więcej danych)	1	21,429	3,67 · 10^-6	0,267	związek
3 7 / 9 2	1	5,743	0,0166	0,523	niewiarygodne, 2 z 4 komórek poniżej 5
40 35 25 / 20 30 50	2	15,385	0,0005	0,277	związek
30 20 10 / 25 25 20 / 15 20 35	4	19,676	0,0006	0,222	związek umiarkowany
Kostka, 60 rzutów: 8 12 9 11 6 14	5	4,200	0,5210	0,265	zgodne z równomiernym
Kostka, 600 rzutów w tych samych proporcjach	5	42,000	5,89 · 10^-8	0,265	kostka nieuczciwa
315 108 101 32 wobec 9 : 3 : 3 : 1	3	0,470	0,9254	0,029	zgodne z proporcjami
230 160 110 wobec 50 % / 30 % / 20 %	2	3,267	0,1953	0,081	zgodne z proporcjami

Rachunek ręcznie na tabeli 2 × 3

Weźmy tabelę 40 35 25 / 20 30 50: dwa wiersze po 100 obserwacji, kolumny z sumami 60, 65 i 75, razem N = 200. Liczebności oczekiwane w każdym wierszu wynoszą 100 × 60 / 200 = 30, 100 × 65 / 200 = 32,5 i 100 × 75 / 200 = 37,5.

Wkłady do statystyki w pierwszym wierszu: (40 - 30)² / 30 = 3,333, (35 - 32,5)² / 32,5 = 0,192 i (25 - 37,5)² / 37,5 = 4,167. Drugi wiersz daje dokładnie te same trzy liczby, bo różnice mają tę samą wielkość, tylko odwrotny znak. Suma to 15,385, przy 2 stopniach swobody wartość krytyczna dla α = 0,05 wynosi 5,991, a dla α = 0,01 9,210. Statystyka przekracza obie. Prawie całą sumę tworzą kolumny skrajne, środkowa wnosi razem niecałe 0,4.

Tabela 2: jak mocny jest związek, czyli progi V Craméra

Wartość p mówi tylko, czy związek jest odróżnialny od przypadku. O sile mówi V Craméra = √(χ² / (N × (min(w, k) - 1))), od 0 do 1. Progi Cohena podaje się dla miary w (0,1, 0,3, 0,5), a dla V trzeba je podzielić przez √(min(w, k) - 1). Dlatego w tabeli 3 × 3 ta sama wartość V znaczy więcej niż w tabeli 2 × 2.

Mniejszy wymiar tabeli	Znikomy	Słaby od	Umiarkowany od	Silny od
2 (np. 2 × 2, 2 × 5), też w Cohena	poniżej 0,100	0,100	0,300	0,500
3 (np. 3 × 3, 3 × 4)	poniżej 0,071	0,071	0,212	0,354
4	poniżej 0,058	0,058	0,173	0,289
5	poniżej 0,050	0,050	0,150	0,250

Stąd w Tabeli 1 różne słowa przy podobnych liczbach: V = 0,267 w tabeli 2 × 2 to związek słaby, a V = 0,222 w tabeli 3 × 3 już umiarkowany, bo próg umiarkowanego spada tam do 0,212.

Tabela 3: kiedy wynik testu chi-kwadrat jest wiarygodny

Sytuacja	Ocena	Co zrobić
Wszystkie oczekiwane co najmniej 5	wiarygodny	czytać wynik wprost
Do 20 % komórek poniżej 5, żadna poniżej 1	zwykle akceptowalny	reguła Cochrana dopuszcza, warto patrzeć na reszty
Ponad 20 % komórek poniżej 5 albo któraś poniżej 1	zawodny	połączyć kategorie albo zebrać więcej danych
Tabela 2 × 2 z małymi liczebnościami	zawodny	dokładny test Fishera
Ta sama osoba w kilku komórkach, pomiar przed i po	niedopuszczalny	test dla prób zależnych, np. McNemara
W komórkach procenty albo średnie	niedopuszczalny	wrócić do liczebności surowych

Ciekawe zależności

Ta sama tabela, dwa razy więcej danych, dwa razy większe χ². Tabela 90 60 / 50 100 ma dokładnie te same proporcje co 45 30 / 25 50. Statystyka rośnie z 10,714 do 21,429, a p spada z 0,0011 do 3,67 · 10^-6. V Craméra zostaje 0,267. Kostka pokazuje to samo w drugą stronę: rozrzut, który przy 60 rzutach jest zwykłym przypadkiem (p = 0,5210), przy 600 rzutach w tych samych proporcjach daje χ² = 42,000 i werdykt „nieuczciwa”. Siła związku zależy od proporcji, istotność od liczby danych.

Tabela 2 × 2 to w przebraniu test z dla dwóch proporcji. W tabeli 45 30 / 25 50 odsetki w pierwszej kolumnie to 60 % i 33,3 %. Test z dla dwóch proporcji daje z = 3,273, a 3,273² = 10,714, czyli dokładnie χ² z tej tabeli. Wartość p jest identyczna. Test z mówi dodatkowo, w którą stronę idzie różnica, i pozwala na hipotezę jednostronną.

Zbyt dobra zgodność też jest sygnałem. Liczebności 315, 108, 101 i 32 to wyniki krzyżówki grochu opisane przez Grzegorza Mendla. Wobec stosunku 9 : 3 : 3 : 1 dają χ² = 0,470 i p = 0,9254. Ronald Fisher, analizując wszystkie eksperymenty Mendla razem, zwrócił uwagę, że łącznie pasują do teorii lepiej, niż zwykle pozwala przypadek. Wartość p bardzo bliska 1 w wielu niezależnych badaniach naraz zasługuje na pytanie, jak zbierano dane.

Poprawka Yatesa zawsze obniża χ². W tabeli 45 30 / 25 50 każda z czterech różnic |O - E| wynosi 10, a po poprawce 9,5, więc χ² spada z 10,714 do 9,670. Przy dużych próbach różnica jest kosmetyczna. Przy małych poprawka bywa zbyt ostrożna i wtedy lepszym wyborem jest dokładny test Fishera niż samo zaostrzanie przybliżenia.

Jak interpretować wynik i reszty

Istotny wynik testu niezależności mówi tylko, że gdzieś w tabeli rozkład odbiega od niezależności. Gdzie, pokazują reszty skorygowane: (O - E) / √(E × (1 - suma wiersza / N) × (1 - suma kolumny / N)). Przy niezależności zachowują się jak zmienna z rozkładu normalnego, więc wartości powyżej 1,96 co do modułu kalkulator wyróżnia kolorem: zielonym, gdy obserwacji jest więcej niż oczekiwano, czerwonym, gdy mniej.

W tabeli 40 35 25 / 20 30 50 reszty wynoszą 3,09, 0,75 i -3,65 w pierwszym wierszu. Środkowa kolumna niczego nie wnosi, cała różnica siedzi w kolumnach skrajnych. W teście zgodności kalkulator pokazuje prostsze reszty (O - E) / √E i wkład każdej kategorii do χ². Przy kostce z 60 rzutów największy wkład, po 1,600, mają ścianki, które wypadły 6 i 14 razy, ale żadna reszta nie przekracza 1,26.

Wynik testu opisuje dane, nie przyczynę. Związek w tabeli krzyżowej nie rozstrzyga, która cecha wpływa na którą, ani czy obie nie zależą od trzeciej, niewidocznej w tabeli.

Pytania o test chi-kwadrat

Jak policzyć liczebności oczekiwane w tabeli krzyżowej?

Dla każdej komórki: suma jej wiersza razy suma jej kolumny, podzielone przez sumę całej tabeli. W tabeli 45 30 / 25 50 wychodzi 35, 40, 35 i 40. Liczebności oczekiwane nie muszą być całkowite, na przykład 32,50 w tabeli 2 × 3.

Czy mogę wpisać procenty zamiast liczebności?

Nie. Statystyka chi-kwadrat zależy od liczby obserwacji, a procenty ją gubią: 60 % z 10 osób i 60 % z 1 000 osób to zupełnie inne dowody. W teście niezależności kalkulator przyjmuje tylko liczby całkowite. W teście zgodności procenty są dozwolone wyłącznie jako rozkład oczekiwany.

Kiedy użyć poprawki Yatesa?

Tylko w tabeli 2 × 2 i tylko wtedy, gdy wymaga tego metodyka, z którą chcesz porównać wynik, bo część programów stosuje ją domyślnie. W tabeli 45 30 / 25 50 obniża χ² z 10,714 do 9,670. Przy małych liczebnościach lepiej od razu sięgnąć po test Fishera.

Co zrobić, gdy liczebności oczekiwane są za małe?

Połączyć sąsiednie kategorie, które mają sens razem, na przykład grupy wieku 60-69 i 70+, albo zebrać więcej danych. W tabeli 2 × 2 najprościej użyć dokładnego testu Fishera. Tabela 3 7 / 9 2 ma dwie komórki z oczekiwaniem 4,29 i 4,71, więc kalkulator ostrzega, choć p wynosi 0,0166.

Jak wkleić tabelę z arkusza kalkulacyjnego?

Zaznacz same liczby, bez nagłówków i sum, skopiuj i wklej. Kolumny z arkusza przychodzą rozdzielone tabulatorem, a wiersze nową linią, i tak kalkulator je czyta. Jeśli w wierszu nie ma spacji ani średnika, przecinek też rozdziela liczby, więc zapis 45,30 zostanie odczytany jako dwie komórki.

Czym różni się ten kalkulator od kalkulatora wartości p?

Tutaj punktem wyjścia są surowe liczebności: kalkulator sam buduje oczekiwania, liczy χ², stopnie swobody, siłę związku i reszty. Kalkulator wartości p przyjmuje gotową statystykę, na przykład z raportu programu, i zamienia ją na p. Wynik końcowy dla tych samych danych jest ten sam.

Czy test chi-kwadrat jest jednostronny?

Wartość p liczy się z prawego ogona rozkładu, bo każde odchylenie od oczekiwań, w dowolną stronę, zwiększa χ². W tym sensie test sprawdza różnicę w dowolnym kierunku. Kierunek w tabeli 2 × 2 da się sprawdzić testem z dla dwóch proporcji.

Powiązane narzędzia

Kalkulator Wielkości Próby

Ile ankiet przy danym marginesie błędu i ile osób na grupę w teście A/B - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu z

Test A/B dla dwóch proporcji z kierunkiem różnicy i przedziałem ufności - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Fishera

Dokładny test dla tablicy 2 × 2 przy małych liczebnościach - Zobacz kalkulator

Kalkulator Wartości p

Wartość p z gotowej statystyki chi-kwadrat, z, t albo F - Zobacz kalkulator

Kalkulator Korelacji Pearsona

Siła związku dwóch zmiennych liczbowych, gdy zamiast kategorii masz pomiary - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu t Dwupróbowego

Porównanie średnich dwóch grup, gdy wynik jest liczbą, a nie kategorią - Zobacz kalkulator

Kalkulator Mody i Dominanty

Najczęstsza kategoria i rozkład liczebności w jednej serii - Zobacz kalkulator