Kalkulator Kombinacji i Permutacji

Co oblicza Kalkulator Kombinacji i Permutacji?

Podajesz n (zbiór elementów) i k (ile wybierasz) - kalkulator oblicza liczbę kombinacji C(n,k) i permutacji P(n,k). Kombinacje - gdy kolejność NIE ma znaczenia. Permutacje - gdy MA znaczenie.

Jak korzystać - krok po kroku

1

Zdecyduj czy kolejność ma znaczenie
Tak (szyfr, podium, hasło) = permutacja. Nie (drużyna, lotto, komisja) = kombinacja.

2

Wpisz n i k
n = rozmiar zbioru (np. 49 piłek w Lotto). k = ile wybierasz (np. 6 piłek). k musi być <= n.

3

Odczytaj wynik
Kalkulator poda C(n,k) i P(n,k) jednocześnie. P(n,k) jest zawsze >= C(n,k) (bo uwzględnia kolejność).

Kombinacje vs permutacje - porównanie

Cecha	Kombinacja C(n,k)	Permutacja P(n,k)
Kolejność	Nie ma znaczenia	Ma znaczenie
Wzór	n! / (k! x (n-k)!)	n! / (n-k)!
C(10,3) vs P(10,3)	120	720
Przykład	Wybór 3 osób do komisji	Podium: 1., 2., 3. miejsce
{A,B,C} i {C,B,A}	To samo (1 kombinacja)	Różne (2 permutacje)

Popularne obliczenia

Sytuacja	Typ	n, k	Wynik
Lotto 6 z 49	C	49, 6	13 983 816
Kod PIN 4-cyfrowy	P (z powtórzeniami)	10, 4	10 000
Podium z 20 zawodników	P	20, 3	6 840
Drużyna 5 z 12 graczy	C	12, 5	792
Tasowanie talii 52 kart	P	52, 52	8,07 x 10^67

Najczęstsze błędy i pułapki

Mylenie kombinacji z permutacją - "Ile 3-osobowych drużyn z 10 osób?" = C(10,3) = 120. "Na ile sposobów wybrać kapitana, zastępcę i sekretarza z 10 osób?" = P(10,3) = 720. Kluczowe pytanie: czy kolejność ma znaczenie?

Zapomnienie o powtórzeniach - kod PIN 1234 i 1234 to ten sam kod, ale powtórzenia cyfr SĄ dozwolone (1111 jest poprawne). Standard C(n,k) i P(n,k) nie uwzględniają powtórzeń.

k > n - nie można wybrać 7 elementów ze zbioru 5. C(5,7) nie istnieje. Kalkulator wyświetli błąd.

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Co to jest kombinacja?

Wybór k elementów z n, gdzie kolejność nie ma znaczenia. C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Np. wybór 3 osób z 10 do komisji: C(10,3) = 120 sposobów. {A,B,C} to ta sama komisja co {C,A,B}.

Co to jest permutacja?

Uporządkowany wybór k elementów z n, gdzie kolejność ma znaczenie. P(n,k) = n! / (n-k)!. Np. podium z 10 zawodników: P(10,3) = 720 (bo 1. miejsce Kowalski, 2. Nowak to co innego niż odwrotnie).

Ile jest szans w Lotto 6 z 49?

C(49,6) = 13 983 816. Szansa na szóstkę: 1 do prawie 14 milionów. Prawdopodobieństwo = 0,00000715%. Statystycznie musisz grać 269 000 lat (raz w tygodniu), żeby trafić szóstkę.

Jak odróżnić kombinację od permutacji w zadaniu?

Pytanie o "ile sposobów wybrać" = kombinacja (kolejność nieważna). Pytanie o "ile sposobów ustawić/uporządkować" = permutacja. "Wybierz 3 osoby" = C. "Wybierz prezydenta, wiceprezydenta i skarbnika" = P.

Co to jest wariacja z powtórzeniami?

Wybór k elementów z n, gdzie kolejność ma znaczenie i elementy mogą się powtarzać. Wzór: n^k. Np. PIN 4-cyfrowy z cyfr 0-9: 10^4 = 10 000 możliwych kodów. Hasło 8-znakowe z 62 znaków: 62^8 = 218 bilionów.

Do czego służy kombinatoryka w praktyce?

Loterie i gry (szanse na wygraną), kryptografia (siła hasła), genetyka (kombinacje genów), logistyka (optymalizacja tras), planowanie (grafiki, turnieje), statystyka (próbkowanie), sztuczna inteligencja (przeszukiwanie przestrzeni stanów).