Kalkulator Silni (n\!) - Permutacje i Kombinacje

Jak działa Kalkulator Silni?

Wpisujesz liczbę n - dostajesz n! (n silnia). Silnia to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Np. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Przydaje się w kombinatoryce, prawdopodobieństwie i statystyce.

Szybki start: Wpisz liczbę n (np. 10), kliknij "Oblicz". Wynik: 10! = 3 628 800. Obsługuje liczby do kilkuset - wyniki mogą mieć setki cyfr.

6 typowych zastosowań silni

Przykład 1: Ile jest permutacji 5 elementów?

Sytuacja: Na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?
Obliczenie: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 sposobów
Każda kolejna książka zmniejsza liczbę dostępnych miejsc.

Przykład 2: Kombinacje w loterii

Sytuacja: Lotto 6 z 49. Ile jest kombinacji?
Obliczenie: C(49,6) = 49! / (6! x 43!) = 13 983 816
Szansa na szóstkę: 1 do prawie 14 milionów.

Przykład 3: Rozkład Poissona

Sytuacja: Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny przyjdzie dokładnie 3 klientów (średnia 5/h).
Obliczenie: P(3) = e^-5 x 5^3 / 3! = 0,0067 x 125 / 6 = 0,1404 (14%)
3! w mianowniku to kluczowy element wzoru Poissona.

Przykład 4: Anagramy słowa

Sytuacja: Ile anagramów ma słowo KARTA (5 liter, A powtórzone 2 razy)?
Obliczenie: 5! / 2! = 120 / 2 = 60 anagramów
Dzielimy przez silnię powtórzeń, bo zamiana identycznych liter nie daje nowego anagramu.

Przykład 5: Dwumian Newtona

Sytuacja: Współczynnik przy x3 w rozwinięciu (a+b)5.
Obliczenie: C(5,3) = 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2) = 10

Przykład 6: Szybki wzrost silni

Porównanie: 10! = 3 628 800. 20! = 2 432 902 008 176 640 000. 100! ma 158 cyfr.
Silnia rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza - dlatego kalkulator jest niezbędny dla n > 12.

Wartości silni - tabela

n	n!	Cyfr
0	1	1
5	120	3
10	3 628 800	7
15	1 307 674 368 000	13
20	2 432 902 008 176 640 000	19
50	3,04 x 10^64	65
100	9,33 x 10^157	158

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego 0! = 1?

Konwencja matematyczna. Jest 1 sposób na ułożenie zbioru pustego - nie robić nic. Ponadto 0! = 1 sprawia, że wzory kombinatoryczne (C(n,0) = 1) działają poprawnie bez wyjątków.

Ile to 52! (talia kart)?

52! = 8,07 x 10^67 - to liczba z 68 cyframi. Więcej niż atomów w obserwowalnym wszechświecie (~10^80). Każde tasowanie talii kart daje układ, który prawdopodobnie nigdy wcześniej nie istniał.

Czy istnieje silnia z liczb ujemnych?

Nie dla klasycznej silni. Ale funkcja Gamma rozszerza silnię na liczby rzeczywiste i zespolone: Gamma(n) = (n-1)! Np. Gamma(0.5) = sqrt(pi) = 1,7725. To "silnia z 0,5 minus 1".

Do czego służy silnia w praktyce?

Permutacje (na ile sposobów ułożyć n elementów), kombinacje (C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)), prawdopodobieństwo (rozkład Poissona, dwumianowy), statystyka, kryptografia, algorytmy.

Jak szybko rośnie silnia?

Szybciej niż wykładnicza. 10! = 3,6 mln, 20! = 2,4 x 10^18, 100! = 9,3 x 10^157. Przybliżenie Stirlinga: n! ~ sqrt(2 x pi x n) x (n/e)^n.

Jaka jest największa silnia którą obliczy kalkulator?

Zależy od implementacji. Typowo do 170! (bo 171! przekracza zakres liczb zmiennoprzecinkowych). Nasz kalkulator używa precyzji wielowyrazowej, więc obsługuje znacznie większe wartości.