Kalkulator Testu Kruskala-Wallisa

Test Kruskala-Wallisa: porównanie grup na rangach zamiast średnich

Plony kukurydzy przy trzech nawozach, 43 poletka: H = 11,2708 przy 2 stopniach swobody i p = 0,0036. Porównania par testem Dunna pokazują, że wyróżnia się nawóz C, a A i B dają praktycznie to samo. Kalkulator zamienia wszystkie pomiary na rangi, liczy statystykę H z poprawką na powtórzone wartości, przy małych próbach podaje dokładną wartość p z pełnego wyliczenia możliwych podziałów rang, a przy trzech i więcej grupach dokłada tabelę porównań par z poprawką Bonferroniego.

Problem: dane, którym analiza wariancji nie ufa

Oceny w skali od 1 do 5, czasy reakcji z jednym wynikiem dziesięć razy dłuższym od reszty, grupy po trzy czy cztery osoby. Klasyczna ANOVA porównuje średnie i zakłada rozkład zbliżony do normalnego. Pojedyncza skrajna wartość potrafi przesunąć średnią grupy tak mocno, że test wykaże różnicę, której w pozostałych danych nie ma, albo ją ukryje. Przy skali porządkowej sama średnia bywa wątpliwa, bo odstęp między ocenami 1 i 2 nie musi znaczyć tyle co między 4 i 5.

Rozwiązanie: ranga zamiast wartości

Test Kruskala-Wallisa szereguje wszystkie pomiary od najmniejszego do największego i każdemu przypisuje miejsce w kolejce. Dla testu liczy się tylko to, czy rangi rozkładają się po grupach równo, czy któraś grupa zbiera same wysokie albo same niskie miejsca.

Skrajna wartość traci siłę. Wynik 10 razy większy od drugiego w kolejce dostaje po prostu najwyższą rangę, o jeden wyżej niż sąsiad.

Skala porządkowa wystarcza. Ważne jest tylko, która wartość jest większa, a nie o ile.

Małe próby dostają dokładne p. Gdy możliwych podziałów rang na grupy jest do 300 000, kalkulator sprawdza każdy z nich zamiast polegać na przybliżeniu.

Jak wpisać dane i odczytać wynik

Pomiary grup - każda grupa w osobnej linii, wartości rozdzielone spacją albo średnikiem, nazwa grupy przed dwukropkiem opcjonalna (Nawóz A: 452 874 554). Od 2 do 10 grup, grupy mogą mieć różną liczebność.
Poziom istotności - 0,05 w większości zastosowań, 0,01 przy ostrożniejszym wnioskowaniu, 0,10 w badaniach wstępnych.
Odczytaj wyniki - H, stopnie swobody i wartość p na kafelku głównym, tabelę rang z medianami, a przy trzech i więcej grupach tabelę par z wnioskiem „różnica istotna” albo „brak różnicy”.

Tabela decyzyjna: który test do jakich danych

Twoje dane	Test	Dlaczego
Pomiary ciągłe, rozkład zbliżony do normalnego, podobny rozrzut	ANOVA (klasyczne F)	największa moc, gdy założenia są spełnione
Rozkład normalny, ale wyraźnie różne wariancje	test Welcha	nie zakłada równych wariancji
Skala porządkowa, skośne rozkłady, wartości odstające, małe grupy	test Kruskala-Wallisa	opiera się wyłącznie na kolejności wartości
Tylko dwie grupy niezależne	test Manna-Whitneya	daje ten sam wniosek, a do tego test jednostronny
Te same osoby zmierzone kilka razy	test Friedmana	Kruskal-Wallis wymaga niezależnych grup

Pięć zestawów danych przeliczonych testem

Plony kukurydzy, trzy nawozy (przykład z dokumentacji programu NCSS): sumy rang 229,5, 279 i 437,5, cztery zestawy powtórzonych wartości. H bez poprawki 11,2674, z poprawką 11,2708, p = 0,0036. Test Dunna: C różni się od A (p po poprawce 0,0148) i od B (0,0079), A i B nie (1,0000).

Cztery grupy po dwie obserwacje, wartości 1 2, 3 4, 5 6, 7 8: H = 6,6667. Przybliżenie chi-kwadrat daje p = 0,0833, czyli brak istotności przy 0,05. Dokładne p z 2 520 podziałów rang wynosi 0,0095. Przy tak małych grupach to dokładny wynik jest właściwy.

Trzy grupy po trzy, pełne rozdzielenie (1 2 3, 4 5 6, 7 8 9): H = 7,2, dokładne p = 0,0036, czyli 6 z 1 680 możliwych podziałów. Przybliżenie podałoby 0,0273.

Grupy 5, 5 i 4 z ułamkowymi wynikami: H = 9,0257, dokładne p = 0,0028 z 252 252 układów, chi-kwadrat 0,0110. Wniosek ten sam, ale siła dowodu inna.

Te same dane, dwa testy. Trzy grupy po sześć pomiarów z przykładu analizy wariancji w Wikipedii: ANOVA daje p = 0,0024, Kruskal-Wallis H = 9,4207 i p = 0,0090. Zamiana wartości na rangi gubi część informacji o odległościach, dlatego przy danych bliskich normalnym p z testu rang wychodzi zwykle nieco wyższe, jak tutaj.

Szybka ściągawka: wartości krytyczne chi-kwadrat

Przy większych grupach H porównuje się z rozkładem chi-kwadrat o k - 1 stopniach swobody. Wartości z tablicy NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (rozdział 1.3.6.7.4). Kalkulator wylicza je sam i zgadza się z tablicą we wszystkich komórkach poniżej.

Liczba grup k	df	α = 0,10	α = 0,05	α = 0,01
3	2	4,605	5,991	9,210
4	3	6,251	7,815	11,345
5	4	7,779	9,488	13,277
6	5	9,236	11,070	15,086
8	7	12,017	14,067	18,475
10	9	14,684	16,919	21,666

Kruskal-Wallis w praktyce: pytania

Jak brzmią hipotezy w teście Kruskala-Wallisa?

Hipoteza zerowa: wszystkie grupy pochodzą z tego samego rozkładu. Alternatywna: wartości w co najmniej jednej grupie są systematycznie wyższe albo niższe. O medianach wolno mówić wtedy, gdy rozkłady grup mają podobny kształt i rozrzut, a różnią się tylko położeniem.

Co zrobić po istotnym wyniku, czyli jaki test post hoc?

Kalkulator od razu liczy test Dunna: dla każdej pary porównuje średnie rangi i mnoży p przez liczbę par (poprawka Bonferroniego). Przy trzech grupach są 3 pary, przy pięciu 10. Za istotne uznaje się te pary, w których p po poprawce jest poniżej wybranego poziomu.

Po co poprawka na wiązania?

Powtórzone wartości dostają średnią rangę, przez co rozrzut rang maleje. H dzieli się przez C = 1 - Σ(t³ - t) / (N³ - N), gdzie t to liczba identycznych wartości w każdym zestawie. W przykładzie z kukurydzą C = 0,9997, przy skali ocen 1-5 poprawka bywa znacznie większa.

Kiedy ufać dokładnemu p, a kiedy przybliżeniu?

Dokładne p nie opiera się na żadnym przybliżeniu, bo zlicza wszystkie podziały zaobserwowanych rang. Kalkulator pokazuje je, gdy liczba podziałów rang nie przekracza 300 000. Przybliżenie chi-kwadrat dobrze działa przy większych grupach. Przy grupach liczących po kilka obserwacji potrafi się mocno mylić, co widać w przykładzie czterech grup po dwie: 0,0833 zamiast 0,0095.

Jak podać siłę efektu?

Kalkulator liczy η²_H = (H - k + 1) / (N - k) według Tomczak i Tomczak (2014). Dla kukurydzy wychodzi 0,232, czyli grupy wyjaśniają około 23 % zmienności rang. Gdy wzór daje liczbę ujemną, efekt traktuje się jako zerowy.

Czy mogę wpisać tylko mediany grup?

Nie. Test potrzebuje wszystkich pojedynczych pomiarów, bo rangi powstają z porównania każdej wartości z każdą. Z samych median, średnich czy odchyleń nie da się go odtworzyć.