System w Lotto, test na 99 % i lampa UVB: 6 mitów

Ile razy większą szansę na szóstkę daje system 8 liczb niż zwykły kupon? Większość osób strzela, że „trochę”, może dwa, trzy razy. W kolekturze system wygląda przecież niewinnie: skreślasz dwie liczby więcej i tyle. Podobnie brzmi zdanie, że test trafny w 99 % daje 99 % pewności, albo że gekon w terrarium potrzebuje po prostu 12 godzin światła.

Tyle że to nieprawda. System 8 liczb to 28 zakładów prostych naraz i dokładnie 28 razy większa szansa na szóstkę, a przy teście trafnym w 99 % dodatni wynik może oznaczać chorobę tylko w 50 % przypadków. Poniżej sześć popularnych przekonań o prawdopodobieństwie i oświetleniu terrarium, sprawdzonych w trzech kalkulatorach, oraz jedno, które okazuje się prawdziwe. Przy każdym są dane do wpisania, więc każdą liczbę da się powtórzyć samemu.

Mit 1: system w Lotto to trochę lepsza szansa za tę samą cenę

Fakt: system to po prostu wiele zakładów naraz i tyle samo razy wyższa stawka. Skreślając 8 liczb, grasz wszystkie układy po 6 z tych 8, a takich układów jest C(8, 6) = 28. Szansa na szóstkę rośnie z 1 : 13 983 816 do 1 : 499 422, czyli dokładnie 28 razy. Kupon kosztuje też 28 zakładów, bo tyle ich w nim jest.

Tabela pokazuje, jak szybko rośnie liczba zakładów w kolejnych systemach Lotto. Każdy wiersz prowadzi do podstrony z tym systemem wpisanym w kalkulator.

System 12 liczb brzmi jak skromne sześć liczb więcej. W praktyce to 924 kupony w jednym. Szansa na szóstkę jest nadal mała, 1 : 15 134, ale za to prawie na pewno coś się trafi: w systemie 12 liczb jakakolwiek wygrana wypada średnio co 6,8 losowania.

To samo dotyczy Mini Lotto, gdzie losuje się 5 liczb z 42. Tam systemy zaczynają się już od 6 liczb:

Mit 2: liczby, które dawno nie padły, muszą w końcu paść

Fakt: maszyna losująca nie pamięta poprzednich losowań. Każde losowanie Lotto to nowe 13 983 816 równie prawdopodobnych układów. Liczba, która nie padła od pół roku, ma w następnym losowaniu dokładnie taką samą szansę jak ta, która padła wczoraj.

Tak wygląda to w języku prawdopodobieństwa warunkowego. Zdarzenia są niezależne, gdy P(A | B) = P(A), czyli gdy wiedza o B nic nie zmienia. Prosty test na kostce: A to szóstka w drugim rzucie, B to szóstka w pierwszym. Po wpisaniu P(A ∩ B) = 1/36, P(B) = 1/6 i P(A) = 1/6 kalkulator prawdopodobieństwa warunkowego zwraca P(A | B) = 1/6 i komunikat, że zdarzenia są niezależne, bo 1/36 to dokładnie 1/6 razy 1/6. Poprzednia szóstka nic nie „wyczerpała”.

Mit 3: grając sto razy, prawie na pewno coś wygram, a może i szóstkę

Fakt: w stu losowaniach coś wygrasz, ale szóstka zostaje prawie nieosiągalna. Kalkulator liczy szansę na co najmniej jedną wygraną w serii losowań wzorem 1 - (1 - p)^n. Zwykły kupon przez 100 losowań daje 84,76 % szans na jakąkolwiek wygraną (średnio 1,9 wygranej dowolnego stopnia), ale szansę na szóstkę tylko 0,00072 %. System 8 liczb podnosi to do 99,19 % na cokolwiek i 0,020 % na szóstkę, płacąc 28 razy więcej za każde losowanie.

Inaczej mówiąc: zwykły kupon trafia jakąkolwiek wygraną średnio raz na 53,7 losowania, a system 8 liczb raz na 21,3. To wciąż głównie trójki. Na szóstkę systemem 8 liczb trzeba by czekać średnio 499 422 losowania, czyli więcej, niż ktokolwiek zdąży zagrać przez całe życie. Kalkulator nie podaje kwot wygranych ani cen kuponów, bo te zmieniają się z cennikiem i pulą, ale sam stosunek szansy do liczby zakładów jest stały: nie da się kupić lepszego kursu, można tylko kupić więcej zakładów.

A może Eurojackpot, skoro tam wygrane są większe? Główna wygrana (5 + 2) ma szansę 1 : 139 838 160, czyli mniej więcej dziesięć razy mniejszą niż szóstka w Lotto. Za to jakakolwiek wygrana wypada tam łatwiej: 1 : 32 wobec 1 : 54 w Lotto, bo gra ma aż 12 stopni wygranych. Najłatwiej o główną wygraną jest w Mini Lotto: 1 : 850 668.

Mit 4: test trafny w 99 % oznacza 99 % pewności, że jesteś chory

Fakt: przy rzadkiej chorobie połowa wyników dodatnich to fałszywe alarmy. To najbardziej znany przykład na wzór Bayesa. Weźmy test o czułości 99 % i swoistości 99 % w grupie, w której choruje 1 % osób. Na 10 000 badanych jest 100 chorych, z których test wykryje 99. Wśród 9900 zdrowych 1 % dostanie wynik dodatni, czyli też 99 osób. Razem 198 wyników dodatnich, z czego chorych jest dokładnie połowa: PPV = 50,00 %.

Skąd bierze się pomyłka? Z pomieszania dwóch różnych prawdopodobieństw warunkowych. „99 %” w ulotce to P(wynik dodatni | chory), czyli jak często test wykrywa chorobę u kogoś, kto naprawdę choruje. Pacjenta interesuje odwrotny kierunek: P(chory | wynik dodatni). Te dwie liczby są równe tylko w szczególnym przypadku, a wzór Bayesa pokazuje, że różnicę robi częstość choroby, zanim ktokolwiek zrobi test. W sądownictwie ten sam błąd ma nawet własną nazwę: błąd prokuratora.

Ten sam test daje zupełnie inne PPV w zależności od tego, jak często choroba występuje w badanej grupie. Tabela pokazuje trzy częstości przy czułości i swoistości 99 %. Uwaga praktyczna z kalkulatora: w polach tego trybu wartości wpisuje się ze znakiem procentu, na przykład 1% i 99%.

Przy częstości 0,1 % wynik dodatni oznacza chorobę tylko w 9,02 % przypadków, mimo że test jest tak samo dobry. Dlatego badania przesiewowe potwierdza się drugim, innym testem. Kalkulator nie zastępuje lekarza, pokazuje tylko mechanizm, przez który „99 %” nie znaczy tego, co się wydaje.

Mit 5: gad w terrarium potrzebuje 12 godzin światła przez cały rok

Fakt: tylko gatunki z okolic równika mają stały dzień, reszta potrzebuje pór roku. Kalkulator oświetlenia terrarium bierze długość dnia latem i zimą z opracowania UV-Tool (Baines i in., BIAZA). Gekon lamparci pochodzi z terenów o wyraźnych porach roku i dostaje 14 h światła w czerwcu, a 10 h w grudniu. Pyton królewski z Afryki Zachodniej ma 12 h przez cały rok.

Ciekawostka: w skali roku oba harmonogramy dają prawie tyle samo godzin, 4 382 h u gekona i 4 380 h u pytona. Różnica nie leży w sumie, tylko w tym, jak światło rozkłada się na miesiące. Przy włączaniu o 8:00 timer gekona gasi światło o 22:00 w czerwcu i o 18:00 w grudniu.

Tabela zbiera siedem gatunków, dla których przygotowane są podstrony z gatunkiem wpisanym w kalkulator:

Mit 6: świetlówka UVB jest dobra tak długo, jak świeci

Fakt: lampa UVB traci moc w ultrafiolecie dużo wcześniej, niż przestaje świecić. W testach opisanych w opracowaniu UV-Tool świetlówki UVB po 4000 godzin pracy dawały średnio o 39,9 % mniejszy indeks UV (w zakresie 30-48 %), a jedna z tańszych lamp straciła 64 % już po 1000 godzin. Światło widzialne wygląda przy tym tak samo, więc na oko nic nie widać.

Przy harmonogramie gekona z poprzedniego punktu, około 4 380 godzin w roku, 4000 godzin mija po około 11 miesiącach. Kalkulator podaje ten czas przy każdym gatunku. Najpewniej jest jednak zmierzyć UVI miernikiem w miejscu wygrzewania, bo zależy on od konkretnej lampy, odległości i siatki nad terrarium.

Przy okazji kalkulator liczy prąd. Lampa UVB 13 W i grzewcza 50 W świecące przez cały dzień gekona zużywają 276 kWh rocznie, co przy 1,10 zł za kWh daje 304 zł. To górna granica, bo lampa grzewcza na termostacie nie świeci bez przerwy. Wymiana świetlówki raz na rok to przy takim rachunku drobny koszt w porównaniu z gadem, który przez pół roku dostaje za mało UVB.

Jeden mit, który jest prawdą: lepszy test naprawdę ogranicza fałszywe alarmy

To akurat się zgadza, i to mocniej, niż można by sądzić. Zostawmy częstość 1 % i czułość 99 %, a swoistość podnieśmy z 99 % do 99,9 %. Na 10 000 badanych fałszywych alarmów robi się 10 zamiast 99, a PPV skacze z 50,00 % do 90,91 %. Jedna dziesiąta punktu procentowego w swoistości zmienia wynik dodatni z rzutu monetą w dość pewną informację.

Działa to dlatego, że przy rzadkiej chorobie zdrowych jest znacznie więcej niż chorych, więc nawet mały odsetek pomyłek wśród zdrowych daje dużą liczbę fałszywych alarmów. Swoistość ogranicza właśnie tę grupę.

Jedyna zasada, która działa

We wszystkich trzech tematach błąd bierze się z tego samego: patrzymy na jedną liczbę bez jej tła. „99 %”, „8 liczb” i „12 godzin” nic nie znaczą, dopóki nie wiadomo, z czym się je porównuje: z częstością choroby, z liczbą zakładów w kuponie albo z porą roku w miejscu, skąd pochodzi zwierzę. Kalkulator nie zgaduje, tylko liczy to tło razem z wynikiem.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator Prawdopodobieństwa Lotto liczy szansę na każdy stopień wygranej w Lotto, Mini Lotto i Eurojackpot, także przy grze systemem i w serii losowań, oraz w dowolnej grze typu k z N.

Kalkulator Prawdopodobieństwa Warunkowego liczy P(A | B) z tabeli albo ze wzoru, wzór Bayesa dla 2 i 3 hipotez oraz PPV i NPV testu diagnostycznego, z wynikiem w postaci ułamka.

Kalkulator Oświetlenia Terrarium podaje długość dnia latem i zimą dla 18 gatunków gadów, harmonogram timera na 12 miesięcy, strefę UVB Fergusona i roczny koszt prądu lamp.

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Błędu Standardowego Średniej · Kalkulator Chi-kwadrat · Kalkulator Korelacji Pearsona · Kalkulator Kurtozy · Kalkulator Kwartyli z Szeregu Rozdzielczego · Kalkulator Mody i Dominanty · Kalkulator Percentyla · Kalkulator Przedziału Ufności · Kalkulator Regresji Liniowej · Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego · Kalkulator Skośności Rozkładu · Kalkulator Testu Fishera · Kalkulator Testu Wilcoxona · Kalkulator Testu t Dwupróbowego · Kalkulator Testu t Jednopróbowego · Kalkulator Testu z · Kalkulator Wartości p · Kalkulator Wielkości Próby · Kalkulator Współczynnika Determinacji R² · Kalkulator Współczynnika Zmienności · Kalkulator Z-score

Więcej narzędzi z kategorii Zwierzęta Domowe

Kalkulator Aktywności Dziennej Kota · Kalkulator Ciąży Kota · Kalkulator Ciąży Psa · Kalkulator Diety Eliminacyjnej Psa · Kalkulator Gradientu Temperatur w Terrarium · Kalkulator Kalorii dla Kota · Kalkulator Kalorii dla Psa · Kalkulator Karmienia Chomika · Kalkulator Karmienia Gekona · Kalkulator Karmienia Królika · Kalkulator Karmienia Psa i Kota · Kalkulator Karmienia Ryb · Kalkulator Karmienia Świnki Morskiej · Kalkulator Kosztów Utrzymania Zwierzęcia · Kalkulator Kuwety Kota · Kalkulator Miotu Psa · Kalkulator Objętości Akwarium · Kalkulator Spaceru z Psem · Kalkulator Transportera Kota · Kalkulator Wagi Idealnej Kota · Kalkulator Wieku Psa i Kota · Kalkulator Wielkości Legowiska · Kalkulator Wody dla Psa i Kota · Kalkulator Wody w Akwarium · Kalkulator Wyprawki dla Zwierzęcia