Kalkulator Pochodnych - Krok po Kroku, Styczna i f″

Pochodne funkcji - kompletny atlas

Pochodna z x²·sin x to 2x·sin(x) + x²·cos(x), a z ln(x² + 1) to 2x/(x² + 1). Kalkulator różniczkuje symbolicznie, tak jak na kartce: pokazuje, której reguły użył na każdym etapie, upraszcza wynik, a po podaniu punktu x₀ liczy wartość pochodnej, równanie stycznej i drugą pochodną. Poniżej tablica wzorów, reguły z przykładami i sposób czytania wyniku, w jednym miejscu.

16

wzorów w tablicy pochodnych

5

reguł różniczkowania

f′ i f″

pierwsza i druga pochodna

Jak obliczyć pochodną w kalkulatorze - krok po kroku

Funkcja f(x) - wzór ze zmienną x, np. 3x^4 - 2x + 5, x^2 sin(x), ln(x^2+1). Potęga to ^, mnożenie można pominąć, sin²x zapisujesz jako sin^2(x).
Punkt x₀ - opcjonalnie liczba albo wyrażenie bez x, np. 2, -0,5, pi/2. Bez niego dostajesz sam wzór pochodnej.
Rząd pochodnej - pierwsza albo pierwsza i druga. Druga pochodna zwykle rozstrzyga, czy punkt z f′(x₀) = 0 jest minimum, czy maksimum.
Odczytaj wyniki - w kaflu wzór f′(x) (i f″(x)), niżej wartości w punkcie, równanie stycznej, kroki z nazwami reguł i odczytany wzór funkcji.

Czym jest pochodna i co z niej wynika

Pochodna funkcji w punkcie to granica ilorazu różnicowego: [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h, gdy h dąży do zera. Geometrycznie to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie, czyli tangens kąta nachylenia stycznej do osi x. Dla f(x) = x³ - 3x w punkcie x₀ = 1 pochodna wynosi 0, więc styczna jest pozioma: y = -2.

Z definicji nikt na co dzień nie liczy. Wystarczy tablica pochodnych funkcji elementarnych i kilka reguł, które pozwalają rozłożyć dowolny wzór na prostsze kawałki: sumę, iloczyn, iloraz, złożenie. Kalkulator robi dokładnie to samo, od najbardziej zewnętrznego działania do środka, i każdy taki krok wypisuje pod wynikiem.

Druga pochodna to pochodna pochodnej. Mówi, jak zmienia się nachylenie: dodatnia oznacza wykres wypukły (wygięty jak miska), ujemna wklęsły. Dla 3x⁴ - 2x + 5 pierwsza pochodna to 12x³ - 2, druga 36x², a w punkcie x₀ = 1 wartości wynoszą 10 i 36.

Tabela 1: tablica pochodnych funkcji elementarnych

Wzory, z których kalkulator składa każdy wynik. Kąty w radianach, a w kolumnie „Gdzie” jest zakres, w którym wzór obowiązuje.

Funkcja f(x)	Pochodna f′(x)	Gdzie
c (stała)	0	wszędzie
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	zależnie od n
√x	1/(2√x)	x > 0
1/x	-1/x²	x ≠ 0
eˣ	eˣ	wszędzie
aˣ	aˣ·ln a	a > 0
ln x	1/x	x > 0
log x (dziesiętny)	1/(x·ln 10)	x > 0
sin x	cos x	wszędzie
cos x	-sin x	wszędzie
tg x	1/cos² x	cos x ≠ 0
ctg x	-1/sin² x	sin x ≠ 0
arcsin x	1/√(1 - x²)	-1 < x < 1
arccos x	-1/√(1 - x²)	-1 < x < 1
arctg x	1/(1 + x²)	wszędzie
arcctg x	-1/(1 + x²)	wszędzie

Tabela 2: reguły różniczkowania z przykładami

Każdy przykład w ostatniej kolumnie to wynik kalkulatora, łącznie z zapisem po uproszczeniu.

Reguła	Wzór	Przykład
Suma i stała	(c·u ± v)′ = c·u′ ± v′	(3x⁴ - 2x + 5)′ = 12x³ - 2
Iloczyn	(u·v)′ = u′·v + u·v′	(x²·sin x)′ = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
Iloraz	(u/v)′ = (u′·v - u·v′)/v²	(x/(x² + 1))′ = (1 - x²)/(x² + 1)²
Łańcuchowa (funkcja złożona)	f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)	(sin(x²))′ = 2x·cos(x²)
Potęga z x w wykładniku i podstawie	(uᵛ)′ = uᵛ·(v′·ln u + v·u′/u)	(xˣ)′ = xˣ·(ln(x) + 1)

Przykłady z punktem i styczną

f(x) = (x² + 1)/(x - 1), x₀ = 2: f(2) = 5, f′(2) = -1, f″(2) = 4. Styczna: y = -x + 7.

f(x) = e^(3x), x₀ = 0: f′(x) = 3e^3x, f′(0) = 3. Styczna: y = 3x + 1.

f(x) = √x, x₀ = 4: f′(x) = 1/(2√x), f′(4) = 0,25. Styczna: y = 0,25x + 1.

f(x) = x·ln x, x₀ = 1: f′(x) = ln(x) + 1, f′(1) = 1. Styczna: y = x - 1.

f(x) = x³ - 3x, x₀ = 1 i x₀ = -1: f′ = 3x² - 3 = 0 w obu punktach. f″(1) = 6, czyli minimum (f = -2), f″(-1) = -6, czyli maksimum (f = 2).

Pochodne, które zaskakują

eˣ jest swoją własną pochodną. To jedyna (z dokładnością do stałego mnożnika) funkcja z tą własnością, dlatego e^kx pojawia się wszędzie tam, gdzie tempo zmian jest proporcjonalne do wielkości: przy procencie składanym ciągłym, rozpadzie promieniotwórczym, wzroście populacji. Dla e^3x pochodna to po prostu 3e^3x.

Funkcja ciągła nie musi mieć pochodnej. |x| w zerze nie ma przerwy, ale iloraz różnicowy z lewej daje -1, a z prawej 1. Wykres ma tam ostrze i kalkulator to zgłasza, podając obie wartości. Z kolei |x²| w zerze pochodną ma (wynosi 0), mimo że wzór na nią daje w tym punkcie 0/0.

Pionowa styczna to też brak pochodnej. Pierwiastek trzeciego stopnia x^1/3 w zerze ma styczną pokrywającą się z osią y. Iloraz różnicowy rośnie bez końca, gdy krok maleje, więc pochodnej nie ma, choć wykres jest gładki.

Zero pochodnej to nie zawsze ekstremum. x³ w zerze ma f′ = 0 i f″ = 0, a funkcja cały czas rośnie. Takie miejsce to punkt przegięcia z poziomą styczną. Dlatego kalkulator przy f″ = 0 pisze, że druga pochodna nie rozstrzyga.

Co mówi znak pierwszej i drugiej pochodnej

Wynik w punkcie x₀	Co oznacza
f′(x₀) > 0	funkcja rośnie w otoczeniu x₀
f′(x₀) < 0	funkcja maleje w otoczeniu x₀
f′(x₀) = 0 i f″(x₀) > 0	minimum lokalne
f′(x₀) = 0 i f″(x₀) < 0	maksimum lokalne
f′(x₀) = 0 i f″(x₀) = 0	nie rozstrzyga: trzeba zbadać znak f′ po obu stronach
f′(x₀) nie istnieje	ostrze, pionowa styczna albo brak funkcji po jednej stronie punktu

Dwa pierwsze wiersze zakładają, że pochodna jest ciągła w x₀ (tak jest dla funkcji zbudowanych ze wzorów z tabeli, poza punktami, w których wzór na f′ przestaje mieć sens). Wynik dotyczy otoczenia punktu, nie całej dziedziny. Żeby znaleźć ekstrema globalne na przedziale, porównaj wartości funkcji w punktach z f′ = 0 i na końcach przedziału.

Pytania o pochodne

Jak policzyć pochodną funkcji złożonej?

Regułą łańcuchową: pochodna funkcji zewnętrznej (z niezmienionym środkiem) razy pochodna środka. Dla sin(x²): cos(x²) razy 2x, czyli 2x·cos(x²). W krokach kalkulatora taki etap ma dopisek „i reguła łańcuchowa” oraz informację, co jest u.

Dlaczego mój wynik z podręcznika wygląda inaczej?

Ta sama pochodna ma wiele równoważnych zapisów. 2sin(x)·cos(x) to to samo co sin(2x), a (1 - x²)/(x² + 1)² można rozpisać na kilka sposobów. Najprościej sprawdzić to, wpisując punkt x₀: obie wersje muszą dać tę samą wartość.

Jak wyznaczyć równanie stycznej?

Wpisz punkt x₀. Kalkulator liczy y = f′(x₀)·(x - x₀) + f(x₀) i podaje gotową postać kierunkową. Dla √x w punkcie 4: f(4) = 2, f′(4) = 0,25, styczna y = 0,25x + 1.

Czy kalkulator liczy pochodne cząstkowe?

Nie, tylko funkcje jednej zmiennej x. Pochodną cząstkową po x funkcji f(x, y) dostaniesz, traktując y jak stałą i wpisując ją jako liczbę, np. dla y = 2.

Czy log oznacza logarytm naturalny?

Nie, log to logarytm dziesiętny (jak w polskich podręcznikach), a ln naturalny. Dlatego (log x)′ = 1/(x·ln 10), a (ln x)′ = 1/x.

Jak zapisać sin²x i potęgi z ułamkiem?

Kwadrat sinusa: sin^2(x) albo (sin(x))^2. Pierwiastek trzeciego stopnia: x^(1/3), z nawiasem wokół wykładnika. Zapis sin^-1(x) kalkulator odrzuca z prośbą o arcsin(x), żeby nie pomylić odwrotności z funkcją odwrotną.