Kalkulator Całek Oznaczonych - Wynik, Pole i Metoda Simpsona

Całka oznaczona online: wynik, pole i wartość średnia

Ile wynosi całka z x² od 0 do 1? Dokładnie 1/3, a kalkulator pokaże 0,3333333333 i dopisze, że to właśnie 1/3. Wystarczy funkcja i dwie granice. Obok całki dostajesz pole między wykresem a osią x (różne od całki, gdy funkcja schodzi pod oś), wartość średnią funkcji na przedziale i porównanie z metodą prostokątów, trapezów i Simpsona dla 10 podprzedziałów, czyli tym, co liczy się ręcznie na zajęciach z metod numerycznych.

Szybki start. Funkcja: sin x, dolna granica: 0, górna: pi. Wynik: 2, wartość średnia 0,6366197724 (czyli 2/π). Granice mogą być wyrażeniami: pi/2, 2pi, e, sqrt(2).

Jak obliczyć całkę oznaczoną w kalkulatorze - krok po kroku

Funkcja f(x) - wzór z jedną zmienną x, np. 3x^2 + 2, x·e^x, 1/(1+x^2). Potęga to ^, mnożenie można pominąć (2x, 2sin(x)), dostępne są sin, cos, tg, ctg, ln, log, exp, sqrt, abs i funkcje cyklometryczne.
Dolna granica a - liczba albo wyrażenie bez x, np. 0, -1,5 albo pi/6.
Górna granica b - druga granica przedziału. Może być mniejsza od dolnej, wtedy wynik zmienia znak.
Odczytaj wyniki - w kaflu wartość całki i szacowany błąd, niżej pole, wartość średnia, miejsca, w których funkcja zmienia znak, i tabela metod przybliżonych.

8 typowych przypadków użycia

Przykład 1: pole pod parabolą

Sytuacja: f(x) = x^2, a = 0, b = 1
Wynik: 0,3333333333, zgodne z 1/3. Simpson dla n = 10 trafia dokładnie, trapezy dają 0,335.

Simpson jest dokładny dla każdego wielomianu do trzeciego stopnia, stąd zero w kolumnie różnicy.

Przykład 2: całka równa zero, pole równe 4

Sytuacja: sin x od 0 do 2pi
Wynik: całka 0, pole 4, zmiana znaku w x ≈ 3,141592654.

Połowa pod osią x odejmuje się od połowy nad osią. Pytanie o pole figury to inna liczba niż całka.

Przykład 3: droga z prędkości

Sytuacja: prędkość v(t) = 3t² + 2 m/s, czas od 0 do 4 s. Wpisz 3x^2 + 2, granice 0 i 4
Wynik: droga 72 m, prędkość średnia 18 m/s.

Zmienna w kalkulatorze zawsze nazywa się x, nawet gdy w zadaniu jest t.

Przykład 4: pole figury, która przecina oś

Sytuacja: x^2 - 1 od 0 do 2
Wynik: całka 0,6666666667 (2/3), pole 2, zmiana znaku w x = 1.

Od 0 do 1 funkcja jest pod osią (pole 2/3), od 1 do 2 nad nią (pole 4/3).

Przykład 5: całka bez funkcji pierwotnej w funkcjach elementarnych

Sytuacja: e^(-x^2) od -3 do 3
Wynik: 1,772414697, niewiele mniej niż √π ≈ 1,772453851, czyli całka po całej osi.

Tu podręcznikowa metoda z funkcją pierwotną nie działa, liczy się tylko numerycznie.

Przykład 6: funkcja nieograniczona, a całka skończona

Sytuacja: 1/sqrt(x) od 0 do 1
Wynik: 2. Trapezy i Simpson są oznaczone „nie da się”, bo potrzebują wartości w x = 0.

Kalkulator zagęszcza podział przy zerze, aż wynik się ustali.

Przykład 7: całka rozbieżna

Sytuacja: 1/x^2 od 0 do 1
Wynik: komunikat „Całka rozbieżna” i miejsce problemu: x ≈ 0.

Funkcja pierwotna -1/x dąży przy zerze do minus nieskończoności, więc liczby nie ma.

Przykład 8: granice w odwrotnej kolejności

Sytuacja: x od 2 do 0
Wynik: -2, pole 2.

Zamiana granic zmienia znak całki, a pole zostaje dodatnie.

Tabela całek oznaczonych z funkcją pierwotną

Dziesięć całek, które da się policzyć ręcznie wzorem Newtona-Leibniza: całka od a do b = F(b) - F(a), gdzie F to funkcja pierwotna. Ostatnia kolumna to wynik kalkulatora, zgodny z rachunkiem na funkcji pierwotnej.

f(x)	Przedział	Funkcja pierwotna F(x)	Całka
x²	[0, 1]	x³/3	1/3
3x² - 2x + 1	[1, 4]	x³ - x² + x	51
sin x	[0, π]	-cos x	2
cos x	[π/6, π/2]	sin x	1/2
eˣ	[0, 1]	eˣ	e - 1 ≈ 1,718281828
1/x	[1, e]	ln x	1
1/(1 + x²)	[0, 1]	arctg x	π/4 ≈ 0,7853981634
x·eˣ	[0, 1]	(x - 1)·eˣ	1
1/√x	[0, 1]	2√x	2
sin² x	[0, π]	x/2 - sin(2x)/4	π/2 ≈ 1,570796327

Prostokąty, trapezy i Simpson dla n = 10

Tabela pod wynikiem pokazuje, ile mylą się metody ze szkoły przy 10 równych podprzedziałach. Dla całki z sin x od 0 do π (dokładnie 2) wygląda to tak:

Metoda	Wynik	Różnica od 2
Prostokątów (punkty środkowe)	2,008248408	0,008248
Trapezów	1,983523538	-0,016476
Simpsona (parabol)	2,000109517	0,000110

Błąd trapezów wychodzi mniej więcej dwa razy większy niż prostokątów i z przeciwnym znakiem, a Simpson jest o dwa rzędy dokładniejszy. Sam wynik w kaflu nie pochodzi z żadnej z tych trzech metod: liczy go adaptacyjna kwadratura Gaussa-Kronroda (7 i 15 węzłów), która dzieli przedział tam, gdzie oszacowany błąd jest największy, i kończy, gdy błąd spadnie poniżej mniej więcej 10^-12 wartości całki.

Pytania o całki oznaczone

Czy kalkulator pokazuje funkcję pierwotną?

Nie. Liczy wartość całki oznaczonej numerycznie i pokazuje ją z 10 cyframi znaczącymi oraz szacowanym błędem. Gdy wynik pasuje do prostego ułamka, wielokrotności π albo ln 2, kalkulator to napisze (np. „zgadza się z π/4”). Funkcję pierwotną znajdziesz w tabeli powyżej dla najczęstszych przypadków, a sprawdzić ją możesz, licząc jej pochodną.

Czym różni się całka od pola pod wykresem?

Całka liczy części pod osią x jako ujemne, pole jako dodatnie. Dla sin x od 0 do 2π całka to 0, a pole 4. Jeśli w zadaniu pada słowo „pole”, bierz wartość z kafla „Pole między wykresem a osią x”.

Jak wpisać pierwiastek, potęgę i liczbę e?

Pierwiastek: sqrt(x) albo √x. Potęga: x^3, e do potęgi: e^x albo exp(x). Kwadrat sinusa można zapisać jako sin^2(x). Uwaga na dwa zapisy: 1/2x kalkulator czyta jako (1/2)·x, a e^2x jako e²·x (wtedy dopisuje ostrzeżenie), więc e do potęgi 2x wpisz z nawiasem: e^(2x). Notacji 1e3 nie obsługuje, wpisz 1000 albo 10^3. Jak odczytał wzór, widać w sekcji „Funkcja po odczytaniu”.

Czy log to logarytm naturalny?

Nie. Zgodnie z polską konwencją szkolną log to logarytm dziesiętny, a ln naturalny. Całka z ln x od 1 do e wynosi 1, z log x na tym samym przedziale około 0,434.

Czy kalkulator liczy całki niewłaściwe?

Te z osobliwością na końcu albo wewnątrz przedziału tak: 1/√x od 0 do 1 daje 2, a 1/√(1 - x²) od 0 do 1 daje π/2 ≈ 1,570796327. Najbliższą osobliwości część kalkulator szacuje z tego, jak szybko maleją całki z coraz węższych pasów, i zaznacza to przy szacowanym błędzie. Granice w nieskończoności nie są możliwe: obie muszą być liczbami od -1 000 000 do 1 000 000. Dla funkcji szybko malejącej duża granica wystarcza, np. e^(-x) od 0 do 1 000 000 daje 1. Wąski szczyt funkcji leżący daleko od końców przedziału i od zera może jednak umknąć, więc przy takich funkcjach lepiej wpisać umiarkowaną granicę.

Co oznacza komunikat o całce rozbieżnej?

Że całki z coraz węższych pasów przy jednym punkcie nie maleją, więc suma nie ma skończonej wartości. Tak jest przy 1/x² w zerze albo przy tg x w π/2, jeśli ten punkt leży w przedziale. Kalkulator podaje położenie takiego punktu. Gdy zachowanie funkcji jest zbyt nieregularne, żeby to rozstrzygnąć, nie zgaduje: pisze, że nie udało się wyznaczyć wiarygodnej wartości.

W radianach czy w stopniach?

W radianach, jak w całym rachunku całkowym. Granica „pi” to 3,141592654, czyli 180°. Granice w stopniach przelicz najpierw na radiany, np. 30° = pi/6.

Do czego przydaje się wartość średnia funkcji?

To całka podzielona przez długość przedziału. Dla prędkości to prędkość średnia (72 m w 4 s to 18 m/s), dla mocy chwilowej moc średnia. Prostokąt o tej wysokości i szerokości b - a ma pole równe całce.