Percentyl 90 to nie 90 procent - mity o rozrzucie danych

Percentyl 90 oznacza, że dziewięćdziesiąt procent przypadków mieści się w tej wartości. Mediana ma rangę percentylową 50, bo taka jest definicja mediany. Współczynnik zmienności to tylko ładniejszy zapis odchylenia standardowego, więc kto ma większe odchylenie, ten ma większy rozrzut.

Trzy zdania, które brzmią rozsądnie i padają w raportach, na szkoleniach z arkuszy i w rozmowach o danych.

Tyle że każde z nich da się obalić na jednym zestawie dwudziestu liczb. Nie interpretacją, nie sporem o definicje, tylko liczbą, która wychodzi inna, niż się spodziewano.

Dwadzieścia dni dojazdu, na których to policzymy

Cały tekst stoi na jednej serii: czasy dojazdu do pracy z dwudziestu kolejnych dni roboczych, w minutach.

23, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 42, 47, 55, 68, 74, 96

Zwykły rozkład dla czegokolwiek, co ma dolne ograniczenie i nie ma górnego. Krótko nigdy nie będzie krócej niż dwadzieścia parę minut, bo tyle po prostu zajmuje przejechanie tej trasy pustą drogą. Długo może być dowolnie długo, bo korek, wypadek i objazd nie mają limitu. Stąd te trzy ostatnie wartości odstające od reszty.

Wszystkie liczby poniżej pochodzą z uruchomienia dwóch kalkulatorów na tej serii. Żadnej nie wpisano z pamięci.

Mit: percentyl 90 mówi, że dojazd trwa 90 minut w co dziesiątym dniu

Fakt: percentyl 90 dla tej serii wynosi 68,6 minuty, a dziewięćdziesiąt procent to udział obserwacji, nie wartość.

To najczęstsza pomyłka i najłatwiejsza do pokazania. Percentyl ma dwie liczby po dwóch stronach: rząd, czyli ile procent, i wartość, czyli ile minut. Rząd wpisujesz, wartość dostajesz.

Dla tej serii wynik brzmi: 68,6 minuty, poniżej tej wartości leży 18 z 20 obserwacji, czyli dokładnie 90,0 procent. Liczba 90 opisuje więc udział dni, a nie czas przejazdu. Czas przejazdu to 68,6.

Praktycznie: wyjeżdżając z domu z zapasem 69 minut, spóźnisz się mniej więcej raz na dziesięć dni. Wyjeżdżając z zapasem 90 minut, nie spóźnisz się nigdy w tej serii, bo najgorszy dzień miał 96 minut i nawet on mieści się dopiero powyżej. Dwie zupełnie różne decyzje, a różnica bierze się z pomylenia rzędu z wartością.

Mit: percentyl to jedna liczba, więc każdy program policzy tak samo

Fakt: ta sama seria, ten sam percentyl 90, trzy wyniki. Rozstęp między nimi to 5,4 minuty.

Kalkulator liczy percentyl trzema metodami naraz, bo dla zbioru skończonego nie istnieje jedna obowiązująca definicja. Różnią się sposobem wyznaczania pozycji w posortowanej serii.

Arytmetyka jest krótka i warto ją zobaczyć, bo od razu widać, skąd bierze się różnica. Typ 7 wyznacza pozycję jako (n-1)p + 1, czyli 19 razy 0,9 plus 1, co daje 18,1. Bierze więc osiemnastą wartość w kolejności, czyli 68, i dokłada jedną dziesiątą drogi do dziewiętnastej, czyli 74. Wychodzi 68 plus 0,6, czyli 68,6.

Typ 6 wyznacza pozycję jako (n+1)p, czyli 21 razy 0,9, co daje 18,9. Ta sama osiemnasta wartość, ale tym razem dziewięć dziesiątych drogi do dziewiętnastej. Wychodzi 68 plus 5,4, czyli 73,4.

Metoda najbliższej rangi nie interpoluje wcale. Bierze obserwację numer ceil(0,9 razy 20), czyli osiemnastą, i podaje ją bez zmian: 68,0. Jej wynik zawsze jest jedną z liczb, które faktycznie wpisano.

Żadna z tych metod nie jest błędna. Ale różnica między dwiema funkcjami w tym samym Excelu wynosi tu 4,8 minuty, a między skrajnymi metodami 5,4 minuty. Jeżeli ktoś porównuje swój percentyl z cudzym i liczby się nie zgadzają, to zanim zacznie szukać błędu w danych, powinien zapytać o metodę.

Mit: mediana zawsze ma rangę percentylową 50

Fakt: dla wartości 30 w tej serii ranga wyszła 47,5, a trzy dopuszczalne definicje dały 45,0, 47,5 i 50,0.

Ranga percentylowa to pytanie odwrotne do percentyla: wpisujesz wartość, dostajesz jej pozycję wyrażoną w procentach.

W tej serii wartość 30 występuje raz. Poniżej niej leży 9 obserwacji, 1 jest jej równa, 10 leży powyżej. I właśnie ta jedna równa obserwacja rozjeżdża wynik, bo każda z trzech definicji robi z nią co innego.

Wersja środkowa jest domyślna w psychometrii i w tabelach norm właśnie dlatego, że dzieli remisy po połowie i dzięki temu zwykle daje medianie rangę równo 50. Zwykle. Kiedy sama wartość środkowa się powtarza, przestaje.

I tu jest sedno. Mediana tej serii to 30,5, a nie 30. Wartość 30 leży odrobinę poniżej mediany, więc jej ranga 47,5 jest jak najbardziej w porządku. Kalkulator zresztą sam to sprawdza w drugą stronę: percentyl 47,5 policzony metodą typ 7 daje dokładnie 30,0, czyli wraca do wpisanej wartości. Pętla się domyka.

Kto podaje rangę percentylową w raporcie, powinien napisać, której definicji użył. Trzy punkty procentowe różnicy w skali od zera do stu to nie jest kosmetyka.

Mit: średnia wystarczy, żeby zaplanować wyjazd z domu

Fakt: średnia dojazdu wynosi 39,1 minuty, mediana 30,5, a percentyl 90 aż 68,6.

Trzy liczby opisują tę samą serię i każda odpowiada na inne pytanie. Pełny rozkład wygląda tak:

Zwróć uwagę na dolną połowę tabeli. Od percentyla 5 do percentyla 50 czas rośnie o niecałe siedem minut. Od percentyla 50 do 95 rośnie o czterdzieści pięć. Połowa dni jest do siebie bardzo podobna, a druga połowa rozjeżdża się coraz mocniej.

Dlatego średnia 39,1 jest tu myląca. Nie dlatego, że została źle policzona, tylko dlatego, że w tej serii tylko 6 z 20 dni ją przekroczyło: 42, 47, 55, 68, 74 i 96. Średnia leży wyżej niż czternaście z dwudziestu obserwacji, bo trzy najgorsze dni ciągną ją w górę. Wyjeżdżając z zapasem równym średniej, spóźniłbyś się w trzydziestu procentach dni.

Do planowania wyjazdu nie służy średnia. Służy percentyl, a jego rząd wybiera się według tego, jak bardzo nie chcesz się spóźnić.

Mit: większe odchylenie standardowe znaczy większy rozrzut

Fakt: trasa z odchyleniem 27,5 minuty jest stabilniejsza niż trasa z odchyleniem 19,7 minuty.

To najciekawszy z tych mitów, bo obala go nie definicja, tylko arytmetyka. Do tej samej serii dokładamy drugą: te same dwadzieścia dni, ale trasa przez obwodnicę zamiast przez miasto.

40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 63, 66, 70, 75, 82, 90, 102, 118, 145

Dłuższa. I na oko bardziej rozstrzelona, bo rozciąga się od 40 do 145.

Popatrz na dwa ostatnie wiersze. Odchylenie standardowe wskazuje obwodnicę: 27,5 wobec 19,7, iloraz 0,72. Współczynnik zmienności wskazuje miasto: 50,4 procent wobec 40,4, iloraz 1,25. Dwie miary, dwie przeciwne odpowiedzi na pytanie, która trasa jest bardziej nieprzewidywalna.

Sprzeczności tu nie ma. Odchylenie mierzy rozrzut w jednostkach danych, więc odpowiada na pytanie „o ile minut typowo odbiega pojedynczy dzień". Współczynnik dzieli ten rozrzut przez średnią, więc odpowiada na pytanie „jaką częścią typowego dojazdu jest to odchylenie". Przy średnich 39,1 i 68,0 to po prostu dwa różne pytania.

Praktycznie znaczy to tyle: obwodnica bywa dłuższa o więcej minut, ale w stosunku do własnego czasu przejazdu trzyma się lepiej. Miasto ma mniejsze wahania w minutach, tylko że przy dwukrotnie krótszym przejeździe te same wahania psują plan mocniej.

Sam współczynnik nie ma jednostki, bo minuty skracają się w dzieleniu. Właśnie dlatego wolno nim porównać rozrzut czasów dojazdu z rozrzutem cen, mas albo wyników pomiaru z zupełnie innej dziedziny. Odchylenie standardowe tego nie potrafi.

Mit: współczynnik zmienności można policzyć dla dowolnych danych

Fakt: dzielnikiem jest średnia, więc przy średniej bliskiej zeru wskaźnik przestaje cokolwiek znaczyć.

Wzór to odchylenie podzielone przez wartość bezwzględną średniej. Dopóki średnia jest wyraźnie oddalona od zera, wszystko działa. Gdy zbliża się do zera, mianownik się kurczy i współczynnik rośnie do absurdalnych wartości, choć z danymi nic złego się nie stało.

Dotyczy to wszystkiego, co bywa dodatnie i ujemne naraz. Temperatur w stopniach Celsjusza. Dziennych zmian kursu. Wyników finansowych, które oscylują wokół progu rentowności. Zbiór temperatur od minus pięciu do plus pięciu stopni może mieć średnią bliską zeru i współczynnik idący w tysiące procent, a przecież rozrzut jest tam całkiem zwyczajny.

Zasada jest prosta. Współczynnik zmienności ma sens dla wielkości mierzonych na skali ilorazowej, czyli takich, gdzie zero oznacza brak, a wartości ujemne nie występują. Czasy, masy, odległości, kwoty, stężenia. Dla temperatury w Celsjuszu nie, dla temperatury w kelwinach już tak.

Mit: istnieje próg, powyżej którego zmienność jest duża

Fakt: nie ma jednej obowiązującej skali progów i kalkulator celowo nie wystawia ocen słownych.

Krąży kilka takich reguł. Że do dziesięciu procent to mało, do dwudziestu pięciu umiarkowanie, powyżej dużo. Problem w tym, że każda z tych granic pochodzi z konkretnej dziedziny i poza nią nic nie znaczy.

Współczynnik 25 procent dla czasu dojazdu to trasa spokojna. Ten sam współczynnik dla serii pomiarów z laboratorium analitycznego to sygnał, że aparat wymaga kalibracji. I ten sam współczynnik dla rocznych stóp zwrotu z portfela akcji to nuda.

Dlatego wynik 50,4 procent dla trasy przez miasto nie jest sam w sobie ani zły, ani dobry. Staje się informacją dopiero w zestawieniu: z drugą trasą, z tą samą trasą sprzed pół roku albo z tym, co uznajesz za akceptowalne.

Jeden mit, który okazuje się prawdą

Bardzo często słyszy się, że różnice między trzema definicjami rangi percentylowej to czepialstwo, bo w praktyce i tak wychodzi to samo.

I to akurat jest prawda. Wszystkie trzy definicje różnią się wyłącznie tym, co robią z obserwacjami dokładnie równymi sprawdzanej wartości. Jeżeli w serii nie ma ani jednej takiej obserwacji, dają wynik co do cyfry identyczny. Przy danych ciągłych, mierzonych z dokładnością do jednego czy dwóch miejsc po przecinku, remisy zdarzają się rzadko.

Nasza seria trafiła w remis, bo czasy zaokrąglono do pełnych minut i wartość 30 faktycznie w niej wystąpiła. Wystarczyłoby zapisać ją jako 30,2 i wszystkie trzy definicje pokazałyby 45,0.

Wniosek nie jest więc taki, że trzeba za każdym razem deklarować definicję. Jest taki, że trzeba wiedzieć, kiedy to zaczyna mieć znaczenie: przy danych zaokrąglonych, przy skalach ocen, przy punktacjach z niewielkiej liczby możliwych wartości.

Co z tego wynika

Jedna liczba nigdy nie opisuje rozkładu, a wybór miary jest wyborem pytania, nie wyborem dokładności. Średnia mówi o środku ciężkości, mediana o środku kolejności, percentyl o tym, gdzie leży zadany odsetek obserwacji, odchylenie o rozrzucie w jednostkach danych, a współczynnik zmienności o rozrzucie w stosunku do poziomu tych danych. Kiedy dwie miary wskazują przeciwne odpowiedzi, jak tutaj odchylenie i współczynnik przy dwóch trasach, to nie jest błąd rachunkowy do wyjaśnienia, tylko sygnał, że zadano dwa różne pytania i oba dostały poprawną odpowiedź. Reszta to już tylko pilnowanie, żeby przy porównywaniu wyników z cudzymi obie strony liczyły tą samą metodą.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator Percentyla - liczy percentyl dowolnego rzędu i rangę percentylową wybranej wartości, pokazując obok siebie trzy metody wyznaczania pozycji i trzy definicje rangi.

Kalkulator Współczynnika Zmienności - odnosi odchylenie standardowe do średniej i pozwala porównać rozrzut dwóch zbiorów, także mierzonych w różnych jednostkach.

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Mody i Dominanty · Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego · Kalkulator Testu Fishera · Kalkulator Testu Wilcoxona