Kalkulator Wielomianów - Pierwiastki, Rozkład i Dzielenie

Wielomiany - kompletny atlas z kalkulatorem

Rozkład na czynniki, pierwiastki z krotnościami, dzielenie z resztą schematem Hornera, mnożenie, dodawanie i odejmowanie wielomianów do stopnia 30. Wielomian wpisujesz tak, jak w zeszycie, także w postaci iloczynowej: (2x-1)(x+3)^2 kalkulator wymnoży do 2x³ + 11x² + 12x − 9 i rozłoży z powrotem, podając pierwiastek −3 podwójny i 1/2. Liczy dokładnie na ułamkach zwykłych, a pierwiastki, których nie da się zapisać ułamkiem, podaje w postaci z pierwiastkiem kwadratowym albo w przybliżeniu do 10 cyfr znaczących.

n

pierwiastków zespolonych ma wielomian stopnia n, licząc z krotnościami

p | a₀, q | aₙ

warunek na pierwiastek wymierny p/q

R = W(a)

reszta z dzielenia przez x − a (twierdzenie Bézouta)

Jak rozłożyć wielomian w kalkulatorze - krok po kroku

Wielomian W(x) - zmienna x, potęga przez ^ albo ², ³, mnożenie można pominąć (2x, (x-1)(x+2)). Współczynniki mogą być ułamkami (1/2x^2) albo liczbami z przecinkiem (0,5x).
Działanie - analiza (postać ogólna, pierwiastki, rozkład, pochodna) albo dzielenie, mnożenie, dodawanie i odejmowanie dwóch wielomianów.
Wielomian P(x) - pojawia się przy działaniach na dwóch wielomianach. Przy dzieleniu to dzielnik, np. x - 2.
Punkt - opcjonalnie liczba, w której chcesz poznać wartość W(x), np. 3 albo -1/2. Wynik przyjdzie z tabelą schematu Hornera.
Odczytaj wyniki - kafel pokazuje postać ogólną albo wynik działania, niżej rozkład na czynniki, tabela pierwiastków z krotnościami, pochodna i zapis do skopiowania.

Co warto wiedzieć o pierwiastkach wielomianu

Pierwiastek to liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość 0. Z twierdzenia Bézouta liczba a jest pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez x − a bez reszty, a sama reszta z tego dzielenia zawsze równa się W(a). Dlatego dzielenie przez dwumian i liczenie wartości w punkcie to w praktyce ta sama operacja, a schemat Hornera wykonuje obie naraz.

Gdy współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny ma postać p/q, gdzie p dzieli wyraz wolny a₀, a q dzieli współczynnik przy najwyższej potędze aₙ. Kalkulator najpierw rozkłada wielomian dokładnie na czynniki bez pierwiastków wielokrotnych (przez największy wspólny dzielnik z pochodną), więc krotność każdego pierwiastka jest dokładna: w (x-2)^3 pierwiastek 2 jest potrójny, a w (x^2-2)^2 oba pierwiastki ±√2 są podwójne. Potem sprowadza współczynniki do całkowitych i sprawdza wszystkich kandydatów p/q. Gdy współczynniki są ogromne (powyżej 10¹⁴) albo kandydatów jest zbyt wielu, szuka ułamków w pobliżu przybliżeń numerycznych i każdy sprawdza dokładnie.

To, co zostaje po wyjęciu pierwiastków wymiernych, kalkulator rozwiązuje dalej. Trójmian kwadratowy dostaje dokładne pierwiastki z delty, np. −1/2 ± (1/2)√5. Część stopnia 3 i wyżej, bez pierwiastków wymiernych, rozwiązywana jest numerycznie metodą Aberth-Ehrlich z poprawką Newtona, a liczbę pierwiastków rzeczywistych ustala dokładnie ciąg Sturma (pierwiastki rzeczywiste są doprecyzowane bisekcją na ułamkach). Pierwiastki zespolone zawsze występują w parach sprzężonych, więc każda para daje rzeczywisty czynnik kwadratowy.

Tabela 1: przykłady rozkładu policzone kalkulatorem

Każdy wiersz to wynik kalkulatora dla wpisanego wielomianu: rozkład na czynniki i pierwiastki. Liczby przybliżone są zaokrąglone do 10 cyfr znaczących.

W(x)	Rozkład	Pierwiastki
x³ − 6x² + 11x − 6	(x − 1)(x − 2)(x − 3)	1, 2, 3
6x³ − 11x² + 6x − 1	(3x − 1)(2x − 1)(x − 1)	1/3, 1/2, 1
x⁴ − 5x² + 4	(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)	−2, −1, 1, 2
x³ − 6x² + 12x − 8	(x − 2)³	2 potrójny
x³ − 8	(x − 2)(x² + 2x + 4)	2, −1 ± i√3
x³ + 27	(x + 3)(x² − 3x + 9)	−3, 3/2 ± (3/2)i√3
x² + x − 1	(x + 1/2 − (1/2)√5)(x + 1/2 + (1/2)√5)	−1,618033989, 0,6180339887
x³ − 2	≈ (x − 1,25992105)(x² + 1,25992105x + 1,587401052)	1,25992105 i para zespolona
x⁴ + 4	(x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)	−1 ± i, 1 ± i

Tabela 2: jak rozwiązuje się równania danego stopnia

Dla stopni 1 i 2 wystarczy wzór ze szkoły. Dla 3 i 4 istnieją wzory w pierwiastnikach, ale są długie i w praktyce szuka się najpierw pierwiastka wymiernego. Od stopnia 5 ogólnego wzoru w pierwiastnikach nie ma (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Stopień	Metoda szkolna	Co robi kalkulator	Wynik
1	x = −b/a	pierwiastek wymierny	dokładny
2	delta, wzory na x₁ i x₂	pierwiastki wymierne, inaczej delta z uproszczonym pierwiastkiem	dokładny
3	zgadnięcie pierwiastka, dzielenie, delta (wzory Cardana rzadko)	pierwiastki wymierne, trójmian z delty, bez nich numerycznie	dokładny, gdy jest pierwiastek wymierny, inaczej przybliżony
4	podstawienie t = x² w równaniu dwukwadratowym, grupowanie wyrazów	jak wyżej	dokładny albo przybliżony
5-30	brak ogólnego wzoru	pierwiastki wymierne dokładnie, reszta metodą Aberth-Ehrlich	przybliżony dla części bez pierwiastków wymiernych

Wielomiany, które zaskakują przy rozkładzie

Złota proporcja to pierwiastek wielomianu. Dodatni pierwiastek x² + x − 1 to 0,6180339887, a ujemny −1,618033989. Obie liczby różnią się dokładnie o 1 w wartości bezwzględnej.

x⁴ + 4 rozkłada się, choć nie ma pierwiastków rzeczywistych. Iloczyn (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) daje z powrotem x⁴ + 4. Brak pierwiastków wymiernych nie oznacza więc, że wielomian stopnia 4 nie rozkłada się na czynniki o współczynnikach wymiernych.

Trzy pierwiastki rzeczywiste, żadnego wymiernego. x³ − 3x + 1 ma pierwiastki −1,879385242, 0,3472963553 i 1,532088886. Wielomian stopnia 3 bez pierwiastka wymiernego nie rozkłada się na czynniki o współczynnikach wymiernych, więc kalkulator podaje tu tylko przybliżenia.

0,1 + 0,2 to dokładnie 0,3. Kalkulator przechowuje współczynniki jako ułamki, więc 0.1x + 0.2x - 0.3 daje (3/10)x − 3/10 i pierwiastek 1 bez błędów zaokrągleń, jakie zdarzają się w arkuszach kalkulacyjnych.

Dzielenie wielomianu przez dwumian schematem Hornera

Przy dzieleniu 2x³ − 3x² + 4 przez x − 2 kalkulator podaje iloraz 2x² + x + 2 i resztę 8. W schemacie Hornera przepisuje się pierwszy współczynnik, a każdy kolejny to poprzedni wynik razy a plus współczynnik z góry. Ostatnia liczba to reszta i jednocześnie W(2).

	x³	x²	x	wyraz wolny
współczynniki	2	−3	0	4
a = 2	2	2·2 − 3 = 1	1·2 + 0 = 2	2·2 + 4 = 8

Tym samym schematem liczy się wartość w punkcie: dla x³ + 2x² − x − 2 i x = 3 kolejne liczby to 1, 5, 14, 40, czyli W(3) = 40.

Rodzaje pierwiastków w tabeli wyniku

W tabeli pierwiastków	Znaczenie
wymierny	liczba całkowita albo ułamek, wynik dokładny, czynnik (qx − p) w rozkładzie
niewymierne (Δ > 0)	para z trójmianu, zapis dokładny z pierwiastkiem kwadratowym
zespolone (Δ < 0)	para sprzężona a ± bi, brak pierwiastków rzeczywistych tego trójmianu
tylko przybliżenie	pierwiastek części stopnia 3 lub wyższego bez pierwiastków wymiernych, 10 cyfr znaczących
krotność 2 lub więcej	wykres dotyka osi x albo ma w tym miejscu punkt przegięcia, czynnik z potęgą w rozkładzie

Pytania o wielomiany

Jak rozwiązać wielomian 3 stopnia?

Najpierw szuka się pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego (dla współczynnika 1 przy x³), potem dzieli wielomian przez x − a i rozwiązuje trójmian z delty. Dla x³ + 2x² − x − 2 pierwiastek 1 daje iloraz x² + 3x + 2, a z niego −1 i −2. Kalkulator robi to samo i dodatkowo sprawdza ułamki p/q.

Jak podzielić wielomian przez wielomian?

Wybierz działanie „Dzielenie”, wpisz dzielną W(x) i dzielnik P(x). Kalkulator poda iloraz, resztę o stopniu mniejszym niż P(x) i sprawdzi, że P·Q + R daje z powrotem W. Przy dzielniku stopnia 1 dostaniesz też tabelę schematu Hornera.

Co to jest pierwiastek wielokrotny?

Pierwiastek, przez który wielomian dzieli się więcej niż raz. W (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8 liczba 2 jest pierwiastkiem potrójnym. Pierwiastek wielokrotny jest też pierwiastkiem pochodnej, co łatwo sprawdzić w kalkulatorze pochodnych.

Dlaczego część pierwiastków jest tylko w przybliżeniu?

Pierwiastki wymierne i pierwiastki trójmianu da się zapisać dokładnie. Gdy po ich wyjęciu zostaje część stopnia 3 lub wyższego, dokładny zapis wymagałby wzorów Cardana lub Ferrariego, a od stopnia 5 ogólnie nie istnieje. Wtedy kalkulator podaje przybliżenie do 10 cyfr znaczących.

Czy kalkulator rozwiąże równanie kwadratowe?

Tak, to wielomian stopnia 2. Jeśli potrzebujesz też wierzchołka paraboli, postaci kanonicznej i wykresu, wygodniejszy będzie kalkulator funkcji kwadratowej.

Jak wpisać wielomian z ułamkami?

Ułamek przy x zapisz w nawiasie albo przed x: (1/2)x^2 i 1/2x^2 dają to samo. Liczby dziesiętne mogą mieć przecinek albo kropkę. Wynik pokazuje ułamki w nawiasach, np. (1/3)x² − 1/3, żeby było jasne, do czego należy mianownik.