Kalkulator Równań Kwadratowych - Rozwiąż ax²+bx+c=0

Jak działa Kalkulator Równań Kwadratowych?

Wpisujesz współczynniki a, b, c równania ax2 + bx + c = 0 - kalkulator oblicza deltę, pierwiastki (x1, x2) i rysuje wykres paraboli. Pokazuje pełne rozwiązanie krok po kroku.

Szybki start: Wpisz a, b i c (np. a=1, b=-5, c=6 dla x2 - 5x + 6 = 0). Kliknij "Oblicz". Wynik: delta = 1, x1 = 3, x2 = 2. Jeśli delta < 0, równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

7 typowych przypadków użycia

Przykład 1: Klasyczne równanie ze sprawdzianu

Równanie: x2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
Wynik: delta = 1, x1 = 3, x2 = 2
Sprawdzenie: 32 - 5x3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. Zgadza się.

Przykład 2: Delta równa zero - jeden pierwiastek podwójny

Równanie: x2 - 6x + 9 = 0 (a=1, b=-6, c=9)
Wynik: delta = 0, x0 = 3 (pierwiastek podwójny)
Parabola dotyka osi X w jednym punkcie (wierzchołek na osi).

Przykład 3: Delta ujemna - brak rozwiązań rzeczywistych

Równanie: x2 + x + 1 = 0 (a=1, b=1, c=1)
Wynik: delta = -3, brak rozwiązań w R
Parabola nie przecina osi X - leży cała powyżej (bo a > 0 i delta < 0).

Przykład 4: Współczynnik a ujemny - parabola odwrócona

Równanie: -2x2 + 8x - 6 = 0 (a=-2, b=8, c=-6)
Wynik: delta = 16, x1 = 3, x2 = 1
Parabola skierowana ramionami w dół (a < 0). Wierzchołek to punkt maksymalny.

Przykład 5: Rzut piłki - fizyka

Sytuacja: Piłka wyrzucona pod kątem: h(t) = -5t2 + 20t + 1. Kiedy spadnie na ziemię? (h = 0)
Równanie: -5t2 + 20t + 1 = 0 (a=-5, b=20, c=1)
Wynik: t1 = 4,05 s, t2 = -0,05 s (odrzucamy ujemny). Piłka spadnie po 4,05 sekundy.

Przykład 6: Pole prostokąta - geometria

Sytuacja: Prostokąt o obwodzie 20 cm i polu 24 cm2. Jakie boki?
Równanie: x2 - 10x + 24 = 0 (bo a + b = 10, a x b = 24)
Wynik: x1 = 6, x2 = 4. Boki: 6 cm i 4 cm.

Przykład 7: Duże współczynniki

Równanie: 3x2 + 7x - 20 = 0 (a=3, b=7, c=-20)
Wynik: delta = 289, x1 = 5/3 (1,667), x2 = -4

Algorytm rozwiązywania - wzory

Krok	Wzór	Co oznacza
1. Delta	delta = b2 - 4ac	Wyróżnik - decyduje o liczbie rozwiązań
2a. delta > 0	x = (-b +/- sqrt(delta)) / 2a	Dwa różne pierwiastki rzeczywiste
2b. delta = 0	x0 = -b / 2a	Jeden pierwiastek podwójny
2c. delta < 0	Brak rozwiązań w R	Rozwiązania tylko w liczbach zespolonych
3. Wierzchołek	p = -b/2a, q = -delta/4a	Współrzędne wierzchołka paraboli

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Co to jest delta i jak ją obliczyć?

Delta (wyróżnik) = b2 - 4ac. Decyduje o liczbie rozwiązań: delta > 0 = dwa rozwiązania, delta = 0 = jedno (podwójne), delta < 0 = brak rozwiązań rzeczywistych. Np. dla x2 - 5x + 6: delta = 25 - 24 = 1.

Co oznacza delta ujemna?

Równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Parabola nie przecina osi X. Ma rozwiązania w liczbach zespolonych, ale na poziomie szkoły średniej to oznacza "brak rozwiązań".

Czy a może być równe 0?

Nie - jeśli a = 0, to nie jest równanie kwadratowe, tylko liniowe (bx + c = 0). Kalkulator wymaga a różnego od zera. Dla równań liniowych użyj Kalkulatora Funkcji Liniowej.

Co to jest wierzchołek paraboli?

Punkt, w którym parabola osiąga minimum (a > 0) lub maksimum (a < 0). Współrzędne: p = -b/2a, q = -delta/4a. Np. dla x2 - 4x + 3: wierzchołek w punkcie (2, -1).

Jak sprawdzić czy wynik jest poprawny?

Podstaw obliczony x do równania. Jeśli lewa strona = 0, wynik jest poprawny. Np. x2 - 5x + 6 = 0 dla x = 3: 9 - 15 + 6 = 0. Zgadza się.

Gdzie w życiu używa się równań kwadratowych?

Fizyka: rzut ukośny (tor pocisku to parabola), hamowanie pojazdu. Ekonomia: punkt równowagi popytu i podaży. Inżynieria: kształt anteny parabolicznej, łuku mostu. Biologia: modele wzrostu populacji.