Kalkulator Ciągu Arytmetycznego

Jak działa Kalkulator Ciągu Arytmetycznego?

Podajesz pierwszy wyraz (a1), różnicę (r) i numer wyrazu (n) - kalkulator oblicza n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów. Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy następny wyraz jest większy (lub mniejszy) od poprzedniego o stałą wartość r.

Szybki start: Wpisz a1 = 3, r = 5, n = 10. Wynik: a10 = 3 + 9 x 5 = 48. Suma S10 = 10/2 x (3 + 48) = 255. Ciąg: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48.

6 typowych przypadków użycia

Przykład 1: Oszczędzanie rosnące

Sytuacja: Odkładasz 100 zł w styczniu i co miesiąc o 50 zł więcej.
Dane: a1 = 100, r = 50, n = 12
Wynik: a12 = 650 zł (grudzień), suma roczna S12 = 4 500 zł

Przykład 2: Suma Gaussa (1 + 2 + ... + 100)

Dane: a1 = 1, r = 1, n = 100
Wynik: S100 = 100/2 x (1 + 100) = 5 050
Legendarne obliczenie młodego Gaussa, który zrobił to w głowie w kilka sekund.

Przykład 3: Numery miejsc na widowni

Sytuacja: Rząd 1 ma 20 miejsc, każdy następny o 2 więcej. Ile miejsc w 15 rzędach?
Dane: a1 = 20, r = 2, n = 15
Wynik: a15 = 48 miejsc (ostatni rząd), łącznie S15 = 510 miejsc

Przykład 4: Malejący ciąg - amortyzacja

Sytuacja: Maszyna w 1. roku traci 10 000 zł, w każdym następnym 1 000 zł mniej.
Dane: a1 = 10 000, r = -1 000, n = 8
Wynik: a8 = 3 000 zł, łączna amortyzacja S8 = 52 000 zł

Przykład 5: Suma liczb nieparzystych do 99

Dane: a1 = 1, r = 2, n = 50 (bo 1, 3, 5, ..., 99 to 50 wyrazów)
Wynik: S50 = 50/2 x (1 + 99) = 2 500

Wzory ciągu arytmetycznego

Szukasz	Wzór	Przykład
n-ty wyraz	an = a1 + (n-1) x r	a10 = 2 + 9 x 3 = 29
Suma n wyrazów	Sn = n/2 x (a1 + an)	S10 = 10/2 x (2+29) = 155
Różnica	r = a2 - a1 = (an - a1)/(n-1)	r = (29 - 2)/9 = 3
Liczba wyrazów	n = (an - a1)/r + 1	n = (29-2)/3 + 1 = 10

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg liczb, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Np. 2, 5, 8, 11, 14 - różnica r = 3. Każdy wyraz = poprzedni + r.

Czym się różni ciąg arytmetyczny od geometrycznego?

Arytmetyczny: stała różnica (dodajemy r). Geometryczny: stały iloraz (mnożymy przez q). Np. 2, 4, 6, 8 = arytmetyczny (r=2). 2, 4, 8, 16 = geometryczny (q=2).

Jak obliczyć sumę 1+2+3+...+1000?

a1 = 1, an = 1000, n = 1000. S = 1000/2 x (1 + 1000) = 500 500. To wzór Gaussa - suma n pierwszych liczb naturalnych = n(n+1)/2.

Czy różnica r może być ujemna?

Tak - wtedy ciąg jest malejący. Np. 20, 17, 14, 11, 8 to ciąg arytmetyczny z r = -3. Wyrazy maleją o 3 z każdym krokiem.

Gdzie w życiu spotykamy ciągi arytmetyczne?

Wynagrodzenie rosnące o stałą kwotę co rok, numeracja stron (1, 2, 3...), temperatura spadająca o 2 stopnie co godzinę, oprocentowanie proste (nie składane), amortyzacja liniowa.

Jak sprawdzić czy ciąg jest arytmetyczny?

Oblicz różnice między kolejnymi wyrazami. Jeśli wszystkie są równe - ciąg jest arytmetyczny. 3, 7, 11, 15: różnice = 4, 4, 4 - TAK. 2, 4, 7, 11: różnice = 2, 3, 4 - NIE.