Kalkulator Ciągu Geometrycznego

Kalkulator Ciągu Geometrycznego - w pigułce

an = a1 x q^(n-1)

wzór na n-ty wyraz

q

iloraz - każdy wyraz x q

%

procent składany to ciąg geometryczny

wykładniczy

wzrost (q>1) lub zanik (q<1)

Wszystko co musisz wiedzieć

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą q (iloraz). Np. 3, 6, 12, 24, 48 - iloraz q = 2 (każdy wyraz to podwojenie). Ciąg arytmetyczny dodaje, geometryczny mnoży.

Ciągi geometryczne opisują wzrost wykładniczy: procent składany (inwestycje), wzrost populacji bakterii, rozpad promieniotwórczy (q < 1), inflacja. Dlatego kalkulator jest przydatny nie tylko na matematyce, ale w finansach i biologii.

Wzory ciągu geometrycznego

Szukasz	Wzór	Przykład (a1=2, q=3, n=5)
n-ty wyraz	an = a1 x q^(n-1)	a5 = 2 x 3^4 = 162
Suma n wyrazów	Sn = a1 x (q^n - 1) / (q - 1)	S5 = 2 x (243-1)/2 = 242
Iloraz	q = a2 / a1	q = 6/2 = 3
Suma nieskończona (\|q\| < 1)	S = a1 / (1 - q)	a1=1, q=0,5: S = 1/0,5 = 2

Czy wiesz, że...?

Czy wiesz, że... procent składany to ciąg geometryczny? 10 000 zł na lokacie 5% rocznie: a1 = 10 000, q = 1,05. Po 20 latach: 10 000 x 1,05^20 = 26 533 zł. To dlatego Einstein (podobno) nazwał procent składany "ósmym cudem świata".

Czy wiesz, że... bakterie dzielące się co 20 minut tworzą ciąg geometryczny z q = 2? Z jednej bakterii po 24 godzinach (72 podziały): 2^72 = 4,7 x 10^21 bakterii. W praktyce brakuje jedzenia po kilku godzinach.

Czy wiesz, że... struna fortepianu o 1 oktawę wyżej wibruje z podwojoną częstotliwością? Kolejne oktawy to ciąg geometryczny: 440, 880, 1760, 3520 Hz (q = 2). Muzyka to matematyka.

Czy wiesz, że... legenda o wynalazcy szachów: "chcę 1 ziarno na 1. pole, 2 na 2., 4 na 3...." Suma = 2^64 - 1 = 18,4 x 10^18 ziaren. Więcej niż cała roczna produkcja ryżu na świecie.

FAQ - Najczęściej zadawane pytania

Co to jest ciąg geometryczny?

Ciąg, w którym każdy wyraz = poprzedni x q (iloraz). Np. 5, 10, 20, 40, 80 z q = 2. Mnożenie zamiast dodawania (ciąg arytmetyczny dodaje, geometryczny mnoży).

Kiedy suma nieskończonego ciągu jest skończona?

Gdy |q| < 1 (iloraz mniejszy od 1 co do wartości bezwzględnej). Np. 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... = 2. Wyrazy maleją do zera, suma zbiega do a1/(1-q).

Jak ciąg geometryczny wiąże się z procentem składanym?

Kapitał po n latach = a1 x (1 + r)^n, gdzie r to stopa procentowa. To ciąg geometryczny z q = 1 + r. Przy 5% rocznie: q = 1,05. Po 10 latach: a1 x 1,05^10.

Czy iloraz q może być ujemny?

Tak - wtedy wyrazy zmieniają znak naprzemiennie. Np. 1, -2, 4, -8, 16 (q = -2). Przydatne w fizyce (drgania tłumione z odwracającym się znakiem).

Czym się różni wzrost liniowy od wykładniczego?

Liniowy (arytmetyczny): rośnie o stałą kwotę (100, 200, 300 - co roku +100). Wykładniczy (geometryczny): rośnie o stały procent (100, 110, 121 - co roku +10%). Na krótko podobne, na dłuższą metę wykładniczy "wybucha".

Jak obliczyć iloraz znając dwa wyrazy?

q = an / a(n-1). Lub z dwóch dowolnych wyrazów: q = (am / ak)^(1/(m-k)). Np. a3 = 24, a7 = 384: q = (384/24)^(1/4) = 16^0,25 = 2.