Korelacja Pearsona - poziom istotności 0,01

Współczynnik r odpowiada tylko na jedno pytanie

Pytanie brzmi: czy rosnącym wartościom jednej zmiennej towarzyszą rosnące wartości drugiej, i jak konsekwentnie. Nic więcej. Wklejasz dwie serie liczb ustawione parami, dostajesz współczynnik z przedziału od -1 do 1, wartość p mówiącą, czy taki układ mógł powstać przypadkiem, oraz przedział ufności dla samego współczynnika. Dla siedmiu par godzin nauki i wyników testu, czyli 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 godzin wobec 41, 50, 55, 63, 70, 72, 80 punktów, wychodzi r = 0,989 przy p poniżej 0,0001. Współczynnik nie mówi natomiast, o ile punktów rośnie wynik na godzinę nauki ani co jest przyczyną czego.

Trzy liczby, które trzeba czytać razem

Sam współczynnik bez kontekstu wielkości próby wprowadza w błąd, i to w obie strony. Poniżej cztery zbiory policzone tym kalkulatorem. Zwróć uwagę na trzecią kolumnę: to ona decyduje, czy z wyniku wolno cokolwiek wnioskować.

Zbiór	r	Przedział ufności 95 %	p	Co z tego wynika
7 par, nauka i wynik testu	0,989	0,93 do 1,00	< 0,0001	związek pewny nawet przy małej próbie
12 par, dane z szumem	0,698	0,21 do 0,91	0,0117	istotny, ale siła nieznana: od słabej do bardzo silnej
10 par z jedną obserwacją odstającą	0,200	-0,49 do 0,74	0,5796	przedział obejmuje zero, nieznany nawet kierunek
7 par leżących na paraboli	0,000	-0,75 do 0,75	1,0000	zależność idealna, ale nieliniowa, więc r jej nie widzi

Ostatni wiersz to zbiór -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 wobec 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, czyli po prostu kwadrat pierwszej serii. Każdy punkt leży dokładnie na krzywej, przewidywalność jest stuprocentowa, a współczynnik Pearsona wynosi równo zero. To nie usterka rachunku, tylko definicja: Pearson mierzy wyłącznie liniowość.

Od dwóch kolumn do jednej liczby

Seria X - pierwsza zmienna, wklejona w kolejności par. Wartości rozdzielisz spacją, przecinkiem, średnikiem albo nową linią. Przecinek dziesiętny w zapisie 22,5 jest rozpoznawany poprawnie, o ile pary rozdzielasz spacją lub średnikiem.
Seria Y - druga zmienna w dokładnie tej samej kolejności. Trzecia liczba w polu X i trzecia w polu Y muszą pochodzić z tej samej obserwacji, bo to one tworzą parę. Przestawienie kolejności zmienia wynik, choć zbiór liczb pozostaje ten sam.
Poziom istotności - próg, poniżej którego uznajesz wynik za istotny. Domyślne 0,05 jest konwencją w większości dziedzin, 0,01 stosuje się tam, gdzie pomyłka kosztuje więcej, 0,10 w badaniach eksploracyjnych. Ta sama wartość wyznacza szerokość przedziału ufności.
Rodzaj hipotezy - dwustronna, gdy pytasz, czy związek w ogóle istnieje. Jednostronna, gdy z góry, przed zobaczeniem danych, zakładasz kierunek. Wartość p przy jednostronnej jest dokładnie o połowę mniejsza.
Odczytaj wyniki - współczynnik i jego siłę w kafelku głównym, wartość p i przedział ufności obok, a pod spodem sumy pośrednie, z których wolno odtworzyć cały rachunek.

Wzór i pełny rachunek na siedmiu parach

Współczynnik to suma iloczynów odchyleń od średnich, podzielona przez pierwiastek z iloczynu sum kwadratów tych odchyleń:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √( Σ(x - x̄)² × Σ(y - ȳ)² )

Dla zbioru z pierwszego akapitu średnie wynoszą 6,286 godziny i 61,571 punktu. Sumy wychodzą następujące:

Krok 1: suma iloczynów odchyleń, czyli licznik
Σ(x - x̄)(y - ȳ) = 263,857

Krok 2: sumy kwadratów odchyleń w obu seriach
Σ(x - x̄)² = 63,429 oraz Σ(y - ȳ)² = 1121,714

Krok 3: dzielenie
263,857 / √(63,429 × 1121,714) = 0,989

Krok 4: test istotności ze statystyki t o 5 stopniach swobody
t = 0,989 × √5 / √(1 - 0,989²) = 15,09, stąd p poniżej 0,0001

Krok 5: przedział ufności przez transformację z Fishera
od 0,93 do 1,00 przy 95 % ufności

Kalkulator pokazuje wszystkie te sumy w tabeli pod wynikiem, więc rachunek da się odtworzyć na kartce i sprawdzić, zamiast przyjmować na wiarę.

Pearson, Spearman i Kendall: co mierzy która miara

Cecha	Pearson r	Spearman rho	Kendall tau
Co wykrywa	zależność liniową	dowolną monotoniczną	zgodność uporządkowania par
Na czym liczy	na wartościach	na rangach	na rangach
Wrażliwość na wartości odstające	wysoka	niska	niska
Typ danych	ilościowe	ilościowe i porządkowe	ilościowe i porządkowe
Kiedy wybrać	dane zbliżone do normalnych, bez wyskoków	skala ocen, rankingi, dane skośne	małe próby, dużo wartości powtórzonych

Ten kalkulator liczy wyłącznie Pearsona. Jeżeli w danych są wyskoki albo skala jest porządkowa, na przykład oceny od 1 do 5, wynik Pearsona odczytuj z rezerwą.

Dwie skale interpretacji i dlaczego bywają sprzeczne

Kalkulator podaje siłę związku w skali Guilforda, a obok dopisuje, jak ten sam wynik nazwałaby umowa Cohena. Rozjazd między nimi jest zamierzony i wart zrozumienia.

Wartość bezwzględna r	Skala Guilforda	Umowa Cohena
poniżej 0,10	nikła	poniżej progu małego efektu
0,10 do 0,20	nikła	mały efekt
0,20 do 0,40	słaba	mały, od 0,30 średni
0,40 do 0,70	umiarkowana	średni, od 0,50 duży
0,70 do 0,90	silna	duży
0,90 do 1,00	bardzo silna	duży

Guilford opisywał pomiary techniczne i psychometryczne, gdzie związki bywają mocne, więc jego progi są wysokie. Cohen opisywał badania nad ludźmi, gdzie r = 0,50 to już duży efekt. Trzecia rzecz, o której warto wiedzieć: sam Cohen zastrzegał, że jego progi są arbitralne i mają być ostatecznością przy braku wiedzy z danej dziedziny. Późniejsze zestawienia siedmiuset kilkudziesięciu korelacji z badań nad różnicami indywidualnymi pokazały, że mediana siły związku leży bliżej 0,19, a mniej niż 3 % korelacji sięga wartości 0,50. W praktyce znaczy to tyle, że współczynnik 0,30 w danych o ludziach jest wynikiem mocnym, choć obie tabelaryczne skale nazwą go co najwyżej średnim.

Błędy, które psują wniosek

Odczytanie r bez spojrzenia na wykres. Dziewięć punktów układających się w idealną prostą daje r = 1,000. Dołożenie jednej obserwacji odstającej, pary 20 i 5, zbija ten sam współczynnik do 0,200, a wartość p skacze do 0,5796. Jeden punkt na dziesięć zmienia werdykt z pewności w brak jakiegokolwiek dowodu.

Uznanie r bliskiego zeru za brak związku. Zbiór leżący na paraboli ma współczynnik równy zero przy zależności całkowicie deterministycznej. Zero mówi tylko tyle, że nie ma trendu liniowego.

Mylenie istotności z siłą. Przy tysiącu par nawet r = 0,07 wychodzi istotne statystycznie, bo p zależy od liczebności równie mocno jak od siły. Istotność mówi „to raczej nie przypadek", a nie „to dużo".

Pominięcie szerokości przedziału ufności. Wynik 0,698 na dwunastu parach ma przedział od 0,21 do 0,91. Zgodne z danymi są zarówno związek słaby, jak i niemal doskonały, więc podawanie samej wartości 0,698 jako ustalonego faktu jest nadużyciem.

Wyciągnięcie wniosku o przyczynie. Korelacja jest symetryczna: zamiana serii miejscami nie zmienia wyniku ani o tysięczną. Sam rachunek nie jest w stanie odróżnić, co na co wpływa, ani wykryć trzeciej zmiennej, która porusza obiema.

Rozjechane pary. Jeden brakujący pomiar w środku jednej serii przesuwa wszystkie kolejne pary o jedno miejsce i psuje wynik po cichu. Kalkulator przerywa rachunek, gdy serie mają różną długość, ale gdy braki wypadną po jednym w każdej serii, długości się zgodzą, a pary nie.

Wątpliwości, które wracają najczęściej

Ile par obserwacji potrzeba, żeby wynik miał sens?

Rachunek wykonuje się od 3 par, ale przy takiej liczbie przedział ufności jest tak szeroki, że nie wyklucza praktycznie niczego. Sensowna praca zaczyna się od kilkunastu par, a przy 30 i więcej wynik zaczyna być stabilny. Kalkulator sam ostrzega, gdy próba liczy mniej niż 10 par.

Dlaczego przy r równym 1 nie ma statystyki t ani przedziału ufności?

Bo w mianowniku statystyki t stoi √(1 - r²), które dla r równego jeden wynosi zero. Współczynnik dokładnie 1 albo -1 w danych z pomiaru zwykle oznacza, że jedna zmienna została wyliczona z drugiej, na przykład kwota netto z brutto albo temperatura w dwóch skalach. Testowanie takiej zależności nie ma sensu, bo nie jest ona empiryczna, tylko rachunkowa.

Kiedy wybrać hipotezę jednostronną?

Tylko wtedy, gdy kierunek związku zakładasz przed zobaczeniem danych i wynik przeciwny byłby dla Ciebie równoznaczny z brakiem efektu. Wybranie jej po obejrzeniu wykresu, żeby zejść poniżej progu, jest formą naciągania wyniku: p spada dokładnie o połowę bez żadnej nowej informacji.

Czy r do kwadratu to ta sama rzecz co współczynnik determinacji?

Liczbowo tak, przy regresji z jedną zmienną objaśniającą. Ale to inne pytanie: r opisuje siłę i kierunek związku, a jego kwadrat to udział wariancji jednej zmiennej dający się wyjaśnić drugą. Warto pamiętać o skali: r równe 0,70 brzmi jak „prawie wszystko", a odpowiada niecałym 49 % wyjaśnionej wariancji.

Co zrobić, gdy w danych są wartości odstające?

Najpierw sprawdzić, czy to błąd zapisu, czy prawdziwa obserwacja. Błąd usuwa się i opisuje w metodzie. Prawdziwej obserwacji usuwać nie wolno tylko dlatego, że psuje wynik. W takiej sytuacji lepszą miarą bywa korelacja rangowa, bo działa na kolejności, a nie na wartościach, więc jeden wyskok przesuwa ją nieporównanie mniej.

Czy przedział ufności może wyjść poza zakres od -1 do 1?

Nie. Przedział liczony jest metodą transformacji z Fishera, która przenosi współczynnik na skalę nieograniczoną, dodaje tam symetryczny margines, a potem wraca funkcją odwrotną. Dzięki temu granice zawsze mieszczą się w dopuszczalnym zakresie, a przedział jest niesymetryczny wokół r, i im bliżej krańca, tym bardziej.

Powiązane narzędzia

Kalkulator Skośności Rozkładu

Pokazuje, w którą stronę wyciągnięty jest ogon danych, czterema miarami asymetrii naraz - Zobacz kalkulator

Kalkulator Kurtozy

Odpowiada, ile masy rozkładu siedzi w ogonach, w zapisie nadwyżkowym i klasycznym - Zobacz kalkulator

Kalkulator Współczynnika Zmienności

Odnosi odchylenie standardowe do średniej i pozwala porównać rozrzut dwóch serii, także mierzonych w różnych jednostkach - Zobacz kalkulator

Kalkulator Percentyla

Pokazuje pozycję pojedynczej wartości na tle całego zbioru, trzema metodami wyznaczania percentyla - Zobacz kalkulator

Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego

Wskazuje obserwacje odstające regułą półtora rozstępu, czyli dokładnie te punkty, które najmocniej psują korelację Pearsona - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Wilcoxona

Porównuje dwie serie pomiarów bez założenia o rozkładzie normalnym, gdy dane są sparowane, ale nieprzystające do testów parametrycznych - Zobacz kalkulator