Skośność - populacja, wzór i interpretacja

Skośność, czyli w którą stronę wyciągnięty jest ogon

Średnia mówi, gdzie leży środek. Odchylenie standardowe mówi, jak szeroko dane są rozrzucone. Żadne z nich nie mówi, czy rozrzut jest równomierny po obu stronach, czy jedna strona ciągnie się znacznie dalej niż druga. Odpowiada na to skośność. Dla dwunastu wynagrodzeń od 3200 do 14000 zł wychodzi 1,999, czyli rozkład silnie skośny, wydłużony w stronę wartości wysokich. Dla dziewięciu kolejnych liczb od 1 do 9 wychodzi równo 0,000. Kalkulator liczy cztery miary tej samej cechy naraz, dopisuje błąd standardowy i sprawdza, czy zaobserwowana asymetria jest istotna statystycznie.

0

wartość dla rozkładu symetrycznego

0,5

granica przybliżonej symetrii

1

próg silnej skośności

Cztery miary tej samej cechy i po co ich tyle

Asymetrię da się zmierzyć na kilka sposobów, a różnią się one tym, jak bardzo dają się poruszyć pojedynczej nietypowej obserwacji. Miara momentowa podnosi odchylenia od średniej do trzeciej potęgi, więc punkt leżący trzy razy dalej niż inne waży w niej dwadzieścia siedem razy więcej. Miara kwartylowa patrzy wyłącznie na trzy liczby porządkowe i tego, co dzieje się na krańcach, nie widzi w ogóle.

Miara	Wzór w skrócie	Wrażliwość na wyskoki	Kiedy po nią sięgnąć
g1, momentowa	m₃ dzielone przez m₂ do potęgi 1,5	bardzo wysoka	gdy masz całą populację, nie próbę
G1, z korektą dla próby	g1 przeskalowane czynnikiem zależnym od n	bardzo wysoka	domyślnie, bo to zwraca arkusz i pakiety statystyczne
Bowley, kwartylowa	(Q3 + Q1 - 2Q2) dzielone przez rozstęp Q3 - Q1	żadna	gdy w danych są wyskoki albo braki na krańcach
Drugi współczynnik Pearsona	3 razy różnica średniej i mediany, dzielone przez odchylenie	umiarkowana	do szybkiego oszacowania w pamięci

Miara kwartylowa zawsze mieści się w przedziale od -1 do 1, bo z definicji jest ilorazem, w którym licznik nie przekracza mianownika. Miary momentowe nie mają takiego ograniczenia i przy zbiorze z jednym daleko odstającym punktem potrafią przekroczyć 3.

Od serii liczb do oceny kształtu

Seria obserwacji - wklej wszystkie wartości, rozdzielone spacją, przecinkiem, średnikiem albo nową linią. Kolejność nie ma znaczenia, bo skośność jej nie używa. Liczby ułamkowe możesz pisać z przecinkiem, na przykład 22,5, o ile obserwacje rozdzielasz spacją lub średnikiem.
Rodzaj zbioru - próba, gdy masz wycinek większej całości, i tak jest niemal zawsze. Populacja, gdy zmierzyłeś wszystko, co chciałeś opisać, na przykład wszystkie sześćdziesiąt sztuk z jednej partii. Wybór zmienia tylko to, która z dwóch miar momentowych trafia do kafelka głównego.
Poziom istotności - próg dla testu, czy asymetria jest realna, czy mieści się w wahaniach losowych. Przy 0,05 progiem dla statystyki z jest 1,96, przy 0,01 jest to 2,58.
Odczytaj wyniki - w kafelku głównym wartość i słowna ocena kształtu, obok statystyka z z werdyktem istotności, a niżej wszystkie cztery miary obok siebie. Jeżeli miary wskazują przeciwne kierunki, kalkulator napisze to wprost.

Cały rachunek na pięciu liczbach

Weźmy zbiór 2, 4, 4, 5, 9. Jest na tyle mały, że da się go przeliczyć na kartce i porównać z tym, co pokazuje kalkulator.

Krok 1: średnia
(2 + 4 + 4 + 5 + 9) dzielone przez 5 = 4,8

Krok 2: odchylenia od średniej
-2,8 -0,8 -0,8 0,2 4,2

Krok 3: moment drugi, czyli średnia z kwadratów odchyleń
suma kwadratów 26,80, podzielona przez 5, daje m₂ = 5,36

Krok 4: moment trzeci, czyli średnia z sześcianów odchyleń
-21,95 -0,51 -0,51 0,01 74,09, suma 51,12, podzielona przez 5, daje m₃ = 10,224

Krok 5: iloraz, czyli skośność momentowa
10,224 dzielone przez 5,36 do potęgi 1,5, czyli przez 12,409, daje g1 = 0,824

Krok 6: korekta dla próby
0,824 pomnożone przez 1,491, czyli przez pierwiastek z n(n-1) podzielony przez n-2, daje G1 = 1,228

Warto zobaczyć krok czwarty. Pojedyncza obserwacja 9, oddalona od średniej o 4,2, wnosi do sumy sześcianów 74,09, podczas gdy trzy obserwacje leżące poniżej średniej wnoszą razem niespełna -23. Jedna wartość odpowiada więc za większość wyniku, i to jest cała mechanika tej miary: potęga trzecia zachowuje znak, ale ogromnie wzmacnia odległość. Zwróć też uwagę, jak duża jest korekta dla próby przy pięciu obserwacjach: mnożnik 1,491 podnosi 0,824 do 1,228, czyli przesuwa wynik z umiarkowanej skośności do silnej. Przy stu obserwacjach ten sam mnożnik wynosi już tylko 1,015, czyli praktycznie nic nie zmienia.

Progi Bulmera i co znaczą w praktyce

Ocena słowna opiera się na klasycznej regule, według której wartość bezwzględna poniżej 0,5 to rozkład w przybliżeniu symetryczny, między 0,5 a 1 umiarkowanie skośny, a powyżej 1 silnie skośny. Znak decyduje o kierunku, nie o sile.

Wartość	Ocena kształtu	Jak to wygląda w danych	Co z tym zrobić
powyżej 1	silnie prawostronny	większość obserwacji nisko, długi ogon w górę	opisuj medianą, nie średnią
od 0,5 do 1	umiarkowanie prawostronny	widoczne przechylenie, ogon niezbyt długi	podaj obie miary środka
od -0,5 do 0,5	w przybliżeniu symetryczny	oba ogony podobnej długości	średnia opisuje zbiór dobrze
od -1 do -0,5	umiarkowanie lewostronny	przechylenie w stronę wartości wysokich	sprawdź, czy nie ma efektu sufitu
poniżej -1	silnie lewostronny	skupisko przy górnej granicy, długi ogon w dół	opisuj medianą, sprawdź ograniczenie skali

Trzy zależności, które zaskakują

Jedna liczba potrafi zmienić wynik dziewięciokrotnie. Zbiór 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15 ma skośność 0,348, czyli mieści się w przybliżonej symetrii. Podmiana ostatniej wartości z 15 na 60 podnosi ten sam wskaźnik do 3,119. Miara kwartylowa w obu przypadkach wynosi dokładnie 0,000, bo kwartyle się nie ruszyły. To nie jest usterka żadnej z miar, tylko różnica w tym, co każda z nich w ogóle bierze pod uwagę.

Średnia powyżej mediany nie dowodzi skośności prawostronnej. To jedna z najczęściej powtarzanych reguł i bywa fałszywa. Zbiór 2, 10, 11, 12, 12, 15, 19, 19 ma średnią 12,5 i medianę 12, więc według reguły powinien być prawostronny. Skośność momentowa wynosi jednak -0,709, czyli wskazuje kierunek przeciwny. Miara kwartylowa daje przy tym 0,524, a więc trzeci możliwy werdykt. Kalkulator wykrywa taką sytuację i pisze o niej wprost, bo wtedy o znaku wyniku decyduje kilka skrajnych obserwacji, a nie kształt środka zbioru.

Przy małej próbie skośność mierzy głównie samą siebie. Błąd standardowy tej miary zależy wyłącznie od liczby obserwacji. Dla 9 obserwacji wynosi 0,717, dla 30 spada do 0,427, a dla 100 do 0,241. Oznacza to, że przy dziewięciu punktach wynik 0,7 jest nieodróżnialny od zera, a przy stu punktach ta sama wartość jest już mocnym sygnałem asymetrii. Dlatego kalkulator zawsze podaje iloraz skośności do jej błędu standardowego, a nie samą wartość.

Cztery zbiory obok siebie, czyli jak czytać wynik

Poniżej cztery serie policzone tym kalkulatorem. Ostatnia kolumna pokazuje, dlaczego dwie miary tej samej cechy warto czytać razem.

Zbiór	G1	Bowley	z	Odczyt
12 wynagrodzeń, od 3200 do 14000	1,999	0,347	3,14	silna asymetria, ale w środku zbioru umiarkowana
10 wartości bez wyskoku	0,348	0,000	0,51	symetria, wynik nieistotny statystycznie
ten sam zbiór, ostatnia wartość 60	3,119	0,000	4,54	cała asymetria pochodzi z jednego punktu
8 wartości, średnia powyżej mediany	-0,709	0,524	-0,94	miary przeczą sobie, opisz zbiór kwartylami

Pierwszy wiersz to typowy obraz danych o pieniądzach: kilka wysokich wartości rozciąga prawy ogon, przez co miara momentowa przekracza 1,999, choć środkowe pięćdziesiąt procent zbioru jest przechylone znacznie łagodniej. Jeżeli opisujesz taki zbiór jedną liczbą, mediana 4750 zł powie o nim więcej niż średnia 5825 zł.

Wątpliwości przy odczycie

Dlaczego arkusz kalkulacyjny podaje inną liczbę niż podręcznik?

Bo liczą dwie różne miary. Funkcja arkusza zwraca G1, czyli wersję z korektą dla próby. Wiele podręczników podaje g1, czyli surowy iloraz momentów. Przy dwunastu obserwacjach różnica jest już widoczna: 1,999 wobec 1,740 dla tego samego zbioru wynagrodzeń. Kalkulator pokazuje obie wartości w tabeli, więc możesz porównać się z dowolnym źródłem.

Ile obserwacji potrzeba, żeby wynik coś znaczył?

Rachunek wykonuje się od 3 obserwacji, ale sensowna praca zaczyna się znacznie wyżej. Przy 9 punktach błąd standardowy wynosi 0,717, więc nawet wynik 1,4 jest ledwie na granicy istotności. Przy 100 obserwacjach błąd spada do 0,241 i wykrywalne stają się asymetrie rzędu 0,5. Sam iloraz z jest w kafelku obok wyniku, więc nie trzeba tego liczyć w pamięci.

Czy skośność zero oznacza rozkład normalny?

Nie. Skośność zero oznacza tylko symetrię. Rozkład jednostajny, rozkład dwumodalny z dwoma równymi szczytami i rozkład normalny mają wszystkie skośność równą zeru, a wyglądają zupełnie inaczej. Do oceny normalności potrzebna jest przynajmniej druga miara kształtu, czyli kurtoza, a najlepiej pełny test normalności.

Co zrobić, gdy dwie miary wskazują przeciwne kierunki?

Zaufać kwartylowej, jeśli opisujesz typowy przebieg danych, i momentowej, jeśli interesuje Cię ryzyko wartości skrajnych. Rozjazd znaków zawsze znaczy to samo: środek zbioru przechyla się w jedną stronę, a ogon ciągnie w drugą. Podanie wtedy jednej liczby bez komentarza jest mylące niezależnie od tego, którą wybierzesz.

Czy da się usunąć skośność z danych?

Skośności prawostronnej często pozbywa się przekształceniem, na przykład logarytmem albo pierwiastkiem, i jest to standardowy zabieg przy danych o pieniądzach i czasach oczekiwania. Trzeba jednak pamiętać, że po przekształceniu wszystkie wyniki dotyczą już nowej skali, a średnia z logarytmów po odwróceniu nie jest średnią arytmetyczną, tylko geometryczną. To bywa źródłem cichych pomyłek w raportach.

Dlaczego przy trzech obserwacjach nie ma błędu standardowego?

Bo we wzorze na ten błąd występuje czynnik n - 2 w mianowniku, a przy trzech obserwacjach cała konstrukcja przestaje mieć sens statystyczny: przez trzy punkty zawsze da się poprowadzić dowolnie skośny kształt. Sama skośność jest wtedy jeszcze policzalna i kalkulator ją poda, ale bez testu istotności.

Powiązane narzędzia

Kalkulator Korelacji Pearsona

Mierzy siłę i kierunek związku dwóch serii liczb, z testem istotności i przedziałem ufności dla samego współczynnika - Zobacz kalkulator

Kalkulator Kurtozy

Odpowiada, ile masy rozkładu siedzi w ogonach, w zapisie nadwyżkowym i klasycznym - Zobacz kalkulator

Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego

Wyznacza kwartyle tą samą metodą interpolacji i wskazuje obserwacje odstające regułą półtora rozstępu, czyli dokładnie te punkty, które windują skośność momentową - Zobacz kalkulator

Kalkulator Mody i Dominanty

Pokazuje wartość najczęstszą i układ trzech miar środka, z którego bierze się popularna, choć zawodna reguła o przewadze średniej nad medianą - Zobacz kalkulator

Kalkulator Współczynnika Zmienności

Opisuje drugą cechę kształtu, czyli rozrzut odniesiony do średniej, i pozwala porównać dwa zbiory mierzone w różnych jednostkach - Zobacz kalkulator

Kalkulator Percentyla

Podaje pozycję wybranej wartości w zbiorze, co przy rozkładach skośnych mówi więcej niż odległość od średniej - Zobacz kalkulator

Kalkulator Odchylenia Standardowego

Liczy wariancję i odchylenie standardowe, czyli wielkość, przez którą dzieli się moment trzeci przy wyznaczaniu skośności - Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Wilcoxona

Porównuje dwie serie bez zakładania symetrii ani normalności, czyli w sytuacji, do której właśnie doprowadziła Cię wysoka skośność - Zobacz kalkulator