Kurtoza - populacja, wzór i interpretacja

Kurtoza w pigułce

Kurtoza odpowiada na pytanie, ile masy rozkładu siedzi daleko od środka. Nie na to, jak wysoki jest szczyt, choć taka interpretacja przez dekady krążyła po podręcznikach. Wklejasz serię liczb, dostajesz trzy warianty tej samej miary, ich błąd standardowy oraz odpowiedź, czy odchylenie od kształtu normalnego jest istotne. Dla dwudziestu wartości, z których osiemnaście wynosi 5, a dwie to -40 i 50, wychodzi 9,500. Dla ciągu kolejnych liczb od 1 do 30 wychodzi dokładnie -1,200.

3

kurtoza klasyczna rozkładu normalnego

0

ta sama rzecz w ujęciu nadwyżkowym

-2

granica dolna, matematycznie nie do przekroczenia

4

potęga, do której podnoszone są odchylenia

Wszystko, co trzeba wiedzieć przed odczytem

Zacznijmy od rzeczy, która myli najczęściej. Kurtoza występuje w dwóch zapisach, różniących się o stałą. Wariant klasyczny, oznaczany b₂, dla rozkładu normalnego wynosi 3. Wariant nadwyżkowy, czyli b₂ pomniejszone o 3, dla rozkładu normalnego wynosi 0. Arkusze kalkulacyjne i większość pakietów statystycznych zwracają wariant nadwyżkowy, a spora część podręczników podaje klasyczny. Dlatego ta sama seria danych potrafi dostać dwie „różne" kurtozy różniące się dokładnie o trzy. Kalkulator pokazuje obie, żeby dało się porównać z dowolnym źródłem bez zgadywania.

Druga rzecz to sens samej liczby. Odchylenia od średniej podnoszone są do czwartej potęgi, więc obserwacja leżąca dwa razy dalej niż inne waży w tym rachunku szesnaście razy więcej. Kurtoza jest w związku z tym miarą ogonów, a nie wierzchołka. Rozkład o wysokim szczycie, ale bez wartości skrajnych, będzie miał kurtozę niską. Rozkład wyglądający płasko w środku, ale z kilkoma odległymi obserwacjami, będzie miał wysoką.

Trzecia rzecz to liczebność. Czwarta potęga oznacza, że miara jest jeszcze bardziej niestabilna niż skośność i potrzebuje wyraźnie większych prób. Przy 8 obserwacjach błąd standardowy kurtozy wynosi 1,481, przy 20 spada do 0,992, przy 120 do 0,438. Dopóki wartość nie przekroczy podwojonego błędu, nie ma podstaw twierdzić, że rozkład różni się kształtem od normalnego. Kalkulator liczy ten iloraz sam i podaje go obok wyniku.

Trzy pola i co w nie wpisać

Dane - wszystkie obserwacje, rozdzielone spacją, przecinkiem, średnikiem albo nową linią. Kolejność nie ma znaczenia. Liczby ułamkowe zapisuj z przecinkiem, na przykład 22,5, o ile obserwacje rozdzielasz spacją lub średnikiem. Minimum to 4 wartości, bo wzór na wersję próbkową ma w mianowniku czynnik n minus 3.
Rodzaj zbioru - próba, gdy Twoje dane to wycinek większej całości. Populacja, gdy zmierzyłeś wszystko. Wybór decyduje tylko o tym, która liczba trafia do kafelka głównego, bo w tabeli i tak zobaczysz obie.
Poziom istotności - próg dla testu, czy kształt różni się od normalnego. Przy 0,05 progiem jest 1,96, przy 0,01 jest to 2,58.
Odczytaj wyniki - w kafelku głównym wartość i nazwa kształtu, obok kurtoza klasyczna, statystyka z i błąd standardowy, a niżej porównanie z czterema rozkładami odniesienia.

Tabela referencyjna: cztery rozkłady i cztery zbiory

Górna część tabeli to wartości teoretyczne, do których kalkulator porównuje Twój wynik. Dolna to cztery serie policzone tym narzędziem.

Rozkład lub zbiór	Kurtoza nadwyżkowa	Klasyczna b₂	Charakter ogonów
Rozkład jednostajny	-1,2	1,8	obcięte, brak wartości skrajnych
Rozkład normalny	0	3	odniesienie dla wszystkich pozostałych
Rozkład Laplace'a	3	6	ciężkie, ostry wierzchołek
Rozkład wykładniczy	6	9	bardzo ciężki ogon prawy
Ciąg 1 do 30	-1,200	1,797	dokładnie tyle, co rozkład jednostajny
25 wartości ułożonych w dzwon	-0,517	2,350	nieodróżnialne od normalnego, z równe -0,57
18 piątek oraz -40 i 50	9,500	10,000	dwa punkty robią całą kurtozę, z równe 9,57
Zbiór dwupunktowy, 4 i 4 wartości	-2,000	1,000	dokładnie na granicy dolnej

Czy wiesz, że

Ciąg kolejnych liczb ma kurtozę dokładnie -1,200, niezależnie od tego, ile ma wyrazów. Sprawdziliśmy to dla 10, 20, 50 i 200 wyrazów: estymator z korektą dla próby zwraca za każdym razem tę samą wartość, czyli teoretyczną kurtozę rozkładu jednostajnego. Wersja populacyjna dochodzi do niej dopiero stopniowo: przy dziesięciu wyrazach daje -1,224, przy dwustu -1,200. To najprostszy sposób, żeby zobaczyć, po co w ogóle jest ta korekta.

Kurtoza nadwyżkowa nie może zejść poniżej -2, ale jej estymator już tak. Granicę wyznacza zbiór dwupunktowy o równych licznościach, na przykład cztery trójki i cztery ósemki: wersja populacyjna daje dla niego równo -2,000. Ale ten sam zbiór policzony z korektą dla próby daje -2,800, a zbiór dwumodalny 1, 1, 1, 2, 2, 9, 9, 10, 10, 10 aż -2,478. Korekta poprawia obciążenie estymatora, ale nie respektuje granicy teoretycznej.

Ta sama wartość bywa istotna albo nieistotna, zależnie od liczby obserwacji. Ciąg kolejnych liczb ma kurtozę -1,200 zawsze, ale przy 10 wyrazach statystyka z wynosi -0,90, czyli poniżej progu, a przy 200 wyrazach -3,51, czyli wyraźnie powyżej. Identyczny kształt, przeciwny werdykt. Dlatego kalkulator nazywa rozkład mezokurtycznym wtedy, gdy odchylenie nie jest istotne, a nie wtedy, gdy mieści się w jakimś arbitralnym przedziale.

Wysoka kurtoza nie oznacza wysokiego szczytu. Przez dziesięciolecia uczono, że kurtoza mierzy „spiczastość" rozkładu. Da się jednak skonstruować rozkłady o identycznej kurtozie i zupełnie innym wierzchołku, bo miara sumuje czwarte potęgi odchyleń, a te w okolicy średniej są bliskie zeru i praktycznie nic nie wnoszą. Wszystko, co decyduje o wyniku, dzieje się daleko od środka.

Kurtoza jest ślepa na asymetrię. Odchylenia podnoszone są do potęgi parzystej, więc znak ginie. Zbiór z ciężkim ogonem tylko po prawej stronie i zbiór z ciężkimi ogonami po obu stronach mogą mieć tę samą kurtozę. Dlatego kształt rozkładu opisuje się zawsze dwiema liczbami naraz, skośnością i kurtozą, a nie jedną z nich.

Komu ta liczba realnie się przydaje

Kurtoza nie jest miarą do raportu dla zarządu. Jest miarą diagnostyczną, po którą sięga się przed podjęciem decyzji o metodzie.

Zanim użyjesz testu zakładającego normalność. Wysoka kurtoza jest sygnałem, że w danych siedzą wartości skrajne, które zaburzą test parametryczny. Reguła powszechnie stosowana w naukach społecznych dopuszcza wartości od -2 do 2; poza tym zakresem sensowniej sięgnąć po metodę nieparametryczną.

Przy ocenie ryzyka. Jeżeli opisujesz zmienność czegoś, co bywa gwałtowne, kurtoza mówi wprost, jak często zdarzają się wartości bardzo odległe od typowych. Samo odchylenie standardowe tego nie pokaże, bo dwa zbiory o identycznym odchyleniu mogą mieć zupełnie inny profil ogonów.

Przy kontroli jakości danych. Nagły skok kurtozy między dwiema partiami pomiarów to zwykle nie zmiana zjawiska, tylko błąd zapisu albo urządzenie, które raz na jakiś czas oddaje wartość spoza skali.

Na zajęciach ze statystyki. Zadania zwykle wymagają podania obu wariantów i pokazania, że różnią się o 3. Kalkulator wypisuje je obok siebie razem z błędem standardowym, więc łatwo sprawdzić własny rachunek.

Pytania, które padają przy pierwszym użyciu

Dlaczego mój wynik różni się od podręcznikowego dokładnie o 3?

Bo porównujesz dwa różne zapisy tej samej miary. Podręcznik podaje kurtozę klasyczną, dla rozkładu normalnego równą 3. Arkusz i ten kalkulator w kafelku głównym podają wersję nadwyżkową, czyli pomniejszoną o 3, żeby rozkład normalny miał zero. Obie wartości znajdziesz w tabeli pod wynikiem.

Ile obserwacji trzeba, żeby kurtoza cokolwiek znaczyła?

Rachunek startuje od 4, ale to minimum techniczne, nie merytoryczne. Przy 8 obserwacjach błąd standardowy wynosi 1,481, więc wykrywalne są tylko odchylenia rzędu trzech jednostek. Przy 120 obserwacjach błąd spada do 0,438. Praktycznie: poniżej dwudziestu punktów traktuj wynik jako orientacyjny, a kalkulator sam o tym przypomni.

Czy kurtoza zero oznacza rozkład normalny?

Nie. Oznacza tylko, że ogony ważą tyle, ile w rozkładzie normalnym. Rozkład silnie skośny może mieć kurtozę nadwyżkową bliską zeru i normalny nie będzie. Kurtoza i skośność opisują dwie różne cechy kształtu, a do orzekania o normalności służą osobne testy.

Kurtoza wyszła ujemna, czy to błąd?

Nie, to normalna sytuacja. Wartości ujemne oznaczają rozkład platykurtyczny, czyli o lżejszych ogonach niż normalny. Tak wygląda każdy zbiór z twardymi granicami: oceny w skali od 1 do 6, wiek w wąskim przedziale, odczyty przyrządu z ograniczonym zakresem. Ciąg kolejnych liczb daje -1,200 i jest wzorcowym przykładem.

Usunąć wartości odstające, żeby poprawić kurtozę?

Tylko wtedy, gdy są błędem zapisu, i zawsze z opisem w metodzie. Jeżeli to prawdziwe obserwacje, wysoka kurtoza jest informacją o zjawisku, a nie usterką danych. Usunięcie ich po to, żeby liczba wyglądała lepiej, zamienia opis rzeczywistości w opis własnych oczekiwań.

Dlaczego kalkulator nazywa mój rozkład mezokurtycznym, choć wartość nie jest zerem?

Bo nazwa kształtu opiera się na istotności, a nie na arbitralnym progu. Jeżeli iloraz kurtozy do jej błędu standardowego mieści się w granicy, to przy tej liczbie obserwacji Twój wynik jest nieodróżnialny od zera i nazywanie go leptokurtycznym byłoby nadinterpretacją. Ta sama wartość przy większej próbie dostanie inną nazwę i będzie to poprawne.