Wartość krytyczna chi-kwadrat dla df = 3

Wartość p z gotowej statystyki testowej

Program, raport albo artykuł podaje statystykę testową, na przykład t = -2,1 przy 18 stopniach swobody, ale bez wartości p. Albo p jest podane i trzeba je sprawdzić. Kalkulator zamienia statystykę z rozkładu normalnego (z), t Studenta, chi-kwadrat albo F Snedecora na wartość p dla hipotezy dwustronnej, prawostronnej lub lewostronnej. Pokazuje też pola obu ogonów, wartość krytyczną i obszar odrzucenia przy wybranym poziomie istotności. Drugi tryb działa jak tablica statystyczna: po wpisaniu samych stopni swobody podaje wartości krytyczne dla sześciu poziomów istotności. Nie liczy testu z surowych danych, tylko wykonuje ostatni krok każdego testu: z liczby na prawdopodobieństwo. Ta sama statystyka 2,1 daje p = 0,0357 w rozkładzie z, 0,0501 w rozkładzie t z 18 stopniami swobody i 0,1037 przy 4 stopniach.

Atlas progów: wartości krytyczne czterech rozkładów

Statystyka większa od wartości krytycznej oznacza p mniejsze od poziomu istotności. Tabela zbiera progi, które najczęściej wracają w raportach. Dla z i t podane są progi dwustronne, czyli wartość bezwzględna statystyki, dla chi-kwadrat i F progi prawego ogona.

Rozkład i stopnie swobody	α = 0,10	α = 0,05	α = 0,01
z, dwustronnie	1,645	1,960	2,576
z, jednostronnie	1,282	1,645	2,326
t, df = 5, dwustronnie	2,015	2,571	4,032
t, df = 10, dwustronnie	1,812	2,228	3,169
t, df = 30, dwustronnie	1,697	2,042	2,750
chi-kwadrat, df = 1	2,706	3,841	6,635
chi-kwadrat, df = 3	6,251	7,815	11,345
chi-kwadrat, df = 10	15,987	18,307	23,209
F, df = 2 i 20	2,589	3,493	5,849
F, df = 3 i 30	2,276	2,922	4,510

Dwie prawidłowości widać od razu. Próg t maleje ze wzrostem stopni swobody i zbliża się do progu z: 2,571, 2,228, 2,042 wobec 1,960. Progi chi-kwadrat rosną razem ze stopniami swobody, bo suma większej liczby kwadratów jest po prostu większa.

Od statystyki do wartości p krok po kroku

Co policzyć - wartość p ze statystyki albo wartości krytyczne. Tryb wartości krytycznych nie potrzebuje statystyki: po wybraniu rozkładu i stopni swobody zwraca tabelę progów dla poziomów od 0,10 do 0,001.
Rozkład - wybierz ten, z którego pochodzi statystyka: z dla testów z dużą próbą albo znanym odchyleniem, t dla testów t i współczynników regresji, chi-kwadrat dla tabel liczebności, F dla analizy wariancji i porównania modeli.
Statystyka testowa - wpisz liczbę z raportu razem ze znakiem. Dla z i t znak ma znaczenie w hipotezach jednostronnych, chi-kwadrat i F nigdy nie są ujemne.
Stopnie swobody - dla t i chi-kwadrat jedna liczba, dla F dwie: licznika i mianownika. Ułamkowe stopnie swobody, na przykład z testu Welcha, są dozwolone.
Rodzaj hipotezy - opcja standardowa wybiera hipotezę dwustronną dla z i t oraz prawy ogon dla chi-kwadrat i F, czyli to, czego używa większość testów. Jednostronną wybierz tylko wtedy, gdy kierunek był ustalony przed zebraniem danych.
Poziom istotności - najczęściej 0,05. Wynik podaje p, decyzję, obszar odrzucenia i oznaczenie gwiazdkami, a gdy p leży tuż przy progu, dodaje ostrzeżenie.

Cztery rozkłady, cztery przykłady

Rozkład z

Test proporcji albo średniej przy dużej próbie daje z = 2,1. Prawy ogon ma pole 0,0179, więc p dwustronne wynosi 0,0357, a jednostronne 0,0179. Próg dwustronny to 1,960.

Rozkład t

Test t dla 19 osób daje t = -2,1 przy 18 stopniach swobody. Wychodzi p = 0,0501, a próg to 2,101. Wynik mija granicę 0,05 o włos, więc kalkulator ostrzega, że decyzja jest krucha.

Rozkład chi-kwadrat

Test zgodności dla czterech kategorii albo test niezależności dla tabeli 2 × 4 daje χ² = 9,5 przy 3 stopniach swobody: p = 0,0233, próg 7,815. Ta sama liczba przy 6 stopniach daje już p = 0,1473.

Rozkład F

Analiza wariancji dla trzech grup po 10 osób ma 2 i 27 stopni swobody. Przy F = 4,2 wychodzi p = 0,0258, a próg wynosi 3,354.

Skąd wziąć stopnie swobody

Test	Rozkład	Stopnie swobody
Test t jednopróbowy i dla par	t	n - 1
Test t Studenta dla dwóch grup	t	n₁ + n₂ - 2
Test t Welcha	t	wzór Welcha-Satterthwaite'a, zwykle ułamek
Współczynnik regresji	t	n - k - 1, gdzie k to liczba predyktorów
Chi-kwadrat zgodności	χ²	liczba kategorii - 1
Chi-kwadrat niezależności	χ²	(wiersze - 1) × (kolumny - 1)
Jednoczynnikowa analiza wariancji	F	k - 1 oraz N - k
Test F dla całego modelu regresji	F	k oraz n - k - 1

Rozkłady są ze sobą spokrewnione. Kwadrat statystyki t ma rozkład F z jednym stopniem swobody w liczniku: t = 2,5 przy 12 stopniach daje p = 0,0279 dwustronnie, dokładnie tyle samo co F = 6,25 przy 1 i 12 stopniach. Tak samo kwadrat z ma rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody, dlatego próg 3,841 to kwadrat liczby 1,960.

Jak czytać wartość p i czego ona nie mówi

Wartość p to prawdopodobieństwo, że przy prawdziwej hipotezie zerowej statystyka wyszłaby co najmniej tak skrajna jak zaobserwowana. p = 0,0357 znaczy więc: gdyby efektu nie było, tak duże z trafiałoby się w mniej więcej 3,6 % powtórzeń. Nie znaczy, że hipoteza zerowa jest prawdziwa z prawdopodobieństwem 3,6 %, ani że efekt jest duży.

Pomaga przeliczenie na bity zaskoczenia, czyli -log₂ p. Próg 0,05 to 4,32 bitu, mniej więcej tyle, ile daje wyrzucenie czterech orłów z rzędu uczciwą monetą. Wynik z = 3,5 i p = 0,0005 to już 11,07 bitu. Taka skala pokazuje, że p = 0,04 i p = 0,06 różnią się w praktyce bardzo niewiele, choć leżą po dwóch stronach progu.

Pięć pomyłek przy przeliczaniu statystyki na p

Rozkład z zamiast t. Przy małej próbie ogony t są grubsze. Statystyka 2,1 w rozkładzie z daje 0,0357, a przy 4 stopniach swobody 0,1037, prawie trzy razy więcej.

Dwustronne p dla chi-kwadrat i F. Te testy są z natury prawostronne. Podwojenie ogona albo liczenie lewego ogona daje wynik bez sensu dla zwykłego testu niezależności czy analizy wariancji.

Jednostronne p dobrane po fakcie. Przy z = 1,5 hipoteza dwustronna daje 0,1336, a jednostronna 0,0668. Zmiana hipotezy po obejrzeniu wyniku połowi p bez żadnej nowej informacji.

Zamienione stopnie swobody F. F z 2 i 27 stopniami to inny rozkład niż z 27 i 2. Licznik to zawsze stopnie swobody efektu, mianownik to stopnie swobody błędu.

Uznanie p = 0,0512 za dowód braku efektu. Przy z = 1,95 wynik jest formalnie nieistotny, ale świadczy przeciw hipotezie zerowej prawie tak samo mocno jak wynik przy progu. Brak istotności to brak dowodu, a nie dowód braku.

Pytania o wartość p

Kiedy wybrać hipotezę lewostronną?

Gdy przed badaniem ustalono, że interesuje tylko spadek, na przykład czy nowy proces skraca czas. Wtedy liczy się pole lewego ogona, a ujemna statystyka t albo z daje małe p. Dla chi-kwadrat lewy ogon ma sens tylko wyjątkowo: χ² = 0,2 przy 4 stopniach swobody daje lewostronne p = 0,0047, czyli dopasowanie podejrzanie dobre, jak przy danych poprawianych ręcznie.

Co oznaczają gwiazdki przy wynikach?

To umowny zapis w tabelach: jedna gwiazdka dla p poniżej 0,05, dwie poniżej 0,01, trzy poniżej 0,001. Kalkulator pokazuje ten sam znacznik, a dla p między 0,05 a 0,10 wpisuje „na granicy”. Warto podawać dokładne p obok gwiazdek, bo gwiazdki ukrywają, jak daleko od progu leży wynik.

Czy mogę wpisać ułamkowe stopnie swobody?

Tak. Test Welcha zwraca stopnie swobody w rodzaju 80,24, a statystyka t = 2,066 daje przy nich p = 0,0421. Rozkłady t, chi-kwadrat i F są zdefiniowane dla dowolnych dodatnich stopni swobody, więc zaokrąglanie nie jest potrzebne.

Dlaczego program pokazuje p < 0,001, a kalkulator konkretną liczbę?

Wiele programów obcina bardzo małe p dla czytelności. Kalkulator podaje wartość w zapisie wykładniczym, na przykład rzędu 10^-9 dla z = 6. Tak małe liczby są wiarygodne tylko wtedy, gdy założenia testu są spełnione w skrajnych ogonach, więc w raporcie zwykle wystarczy zapis p < 0,001.

Jak dokładne są wartości krytyczne?

Kalkulator nie korzysta z tablic, tylko liczy dokładne pola pod krzywą rozkładu przez funkcje niepełne beta i gamma, a próg wyznacza iteracyjnie. Wyniki zgadzają się z drukowanymi tablicami do trzeciego miejsca po przecinku, na przykład 2,228 dla t z 10 stopniami swobody i 18,307 dla chi-kwadrat z 10.

Czy małe p oznacza ważny wynik?

Nie. Przy bardzo dużej próbie nawet znikoma różnica daje małe p. O znaczeniu praktycznym mówi wielkość efektu, na przykład d Cohena albo różnica średnich z przedziałem ufności. Wartość p odpowiada tylko na pytanie, czy wynik dałoby się łatwo wyjaśnić przypadkiem.