Ta sama korelacja 0,851, dwa zupełnie różne rozkłady

Dwa zespoły, po dwanaście osób każdy. W obu staż pracy rozkłada się identycznie: od roku do dwunastu lat, po jednej osobie na każdy rok. W obu policzony współczynnik korelacji Pearsona między stażem a wynagrodzeniem wynosi 0,851.

Nie w przybliżeniu. Dokładnie tyle samo, do trzeciego miejsca po przecinku. Wartość p też ta sama, 0,0005. Statystyka t ta sama, 5,12. Przedział ufności ten sam, od 0,54 do 0,96.

A wynagrodzenia w tych zespołach rozkładają się zupełnie inaczej. W pierwszym skośność wynosi 0,000, w drugim 2,076. Kurtoza w pierwszym -0,614, w drugim 5,310. Pierwszy rozkład jest idealnie symetryczny, drugi ma ogon ciągnący się w prawo tak długi, że przy dwunastu obserwacjach odchylenie od normalności jest istotne statystycznie.

Jeżeli w raporcie stoi tylko „r = 0,85, istotne", to te dwa zespoły są nie do odróżnienia. A decyzja kadrowa, którą się na tej podstawie podejmie, będzie w obu przypadkach inna.

Dwanaście liczb, które to wywołują

Wynagrodzenia w zespole A:

4200 6300 4500 6600 5800 7900 6100 8200 7400 9500 7700 9800

Wynagrodzenia w zespole B:

3800 4000 4310 4680 5100 5560 6050 6570 7110 7680 8280 14500

W obu przypadkach staż to po prostu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12, w tej samej kolejności.

Zespół A wygląda na chaotyczny. Ktoś z dwuletnim stażem zarabia 6300, ktoś z trzyletnim 4500. Zdarza się, bo to różne stanowiska. Ale ten chaos rozkłada się symetrycznie w górę i w dół wokół trendu, więc rozkład pensji jako całość jest idealnie wyważony: średnia 7000 i mediana 7000, co do złotówki.

Zespół B wygląda na uporządkowany. Pensje rosną razem ze stażem, ładnie, po kolei, bez jednego wyłamania. Aż do ostatniej osoby, która zarabia 14 500 przy jedenastu tysiącach różnicy wobec poprzedniej w kolejce. Średnia 6470, mediana 5805. Różnica 665 zł i cała bierze się z tej jednej wypłaty.

Co pokazuje tabela, a czego nie widać w samym współczynniku

Poniżej wszystko, co o obu zespołach mówią trzy kalkulatory. Górna część tabeli to liczby, które są identyczne. Dolna to te, które się rozjeżdżają.

Cztery pierwsze wiersze to wszystko, co zwykle trafia do podsumowania. Cztery ostatnie to wszystko, co decyduje, czy podsumowanie ma sens.

Dlaczego korelacja tego nie widzi

Bo nie ma takiego zadania. Współczynnik Pearsona odpowiada na jedno pytanie: jak dobrze punkty układają się wzdłuż prostej. Liczy się go z sumy iloczynów odchyleń podzielonej przez iloczyn pierwiastków z sum kwadratów. W zespole A suma iloczynów odchyleń wynosi 59 300, w zespole B 98 430. Sumy kwadratów też są inne. Ale iloraz wychodzi ten sam, bo r jest wielkością bezwymiarową i skalowanie się w nim skraca.

Innymi słowy: rozciągnij wszystkie pensje w zespole B dwa razy, a r nie drgnie. Dodaj każdemu po tysiąc, też nie drgnie. Korelacja mierzy kierunek i ciasność związku, a nie to, jak wygląda rozkład którejkolwiek ze zmiennych z osobna.

Kształtem zajmują się dwie inne miary. Skośność mówi, w którą stronę rozkład jest wydłużony. Kurtoza mówi, ile masy siedzi w ogonach.

Skośność 2,076 i cztery sposoby, żeby ją policzyć

W zespole B skośność G1 wynosi 2,076, a próg „silnie skośny" zaczyna się od 1. Iloraz skośności do jej błędu standardowego, czyli 2,076 przez 0,637, daje 3,26 i przekracza 1,96, więc asymetrii nie da się wytłumaczyć samym losowaniem.

Ciekawsze jest jednak to, że ta jedna cecha zbioru ma cztery różne liczby, w zależności od tego, jak się ją mierzy.

Zwróć uwagę na trzeci wiersz. Miara Bowleya daje 0,086, czyli praktycznie zero, podczas gdy momentowa daje 2,076. Obie liczby są poprawne. Różnią się, bo Bowley patrzy wyłącznie na kwartyle, a wypłata 14 500 leży daleko poza trzecim kwartylem i po prostu nie wchodzi do rachunku. Środek rozkładu w zespole B faktycznie jest symetryczny. Asymetryczny jest jego brzeg.

To nie jest niedoskonałość żadnej z tych miar. To jest powód, dla którego kalkulator pokazuje obie naraz. Jeśli momentowa i kwartylowa się rozjeżdżają, wiesz, gdzie szukać: w ogonie, nie w środku.

Kurtoza, czyli jak daleko sięga ogon

Kurtoza nadwyżkowa w zespole B wynosi 5,310, a w zespole A -0,614. Rozkład normalny ma zero. Poniżej tabela pokazuje, gdzie oba zespoły lądują na tle rozkładów wzorcowych.

Zespół B siedzi między rozkładem Laplace'a a wykładniczym. To jest bardzo daleko od normalnego, a wystarczyła jedna wypłata na dwanaście.

Warto przy tym pilnować jednej rzeczy, o której kalkulator sam przypomina w stopce. Kurtoza podnosi odchylenia do czwartej potęgi, więc potrzebuje wyraźnie większych prób niż średnia czy nawet skośność. Przy dwunastu obserwacjach błąd standardowy kurtozy wynosi 1,232, czyli jest większy niż cała wartość G2 dla zespołu A. Poniżej dwudziestu obserwacji wynik traktuj jako orientacyjny. W zespole B iloraz 5,310 do 1,232 daje 4,31 i to jest na tyle dużo, że nawet przy tej liczbie obserwacji rozstrzyga.

Jedna obserwacja z dwunastu

Skoro wszystko kręci się wokół wypłaty 14 500, sprawdźmy, co się stanie, jeśli tej osoby w zespole B nie będzie. Zostaje jedenaście pensji, od 3800 do 8280.

Usunięcie jednej obserwacji z dwunastu zmienia kurtozę z 5,310 na -1,165. To skok o prawie sześć i pół jednostki, z ogona cięższego niż w rozkładzie Laplace'a na ogon lżejszy niż normalny. Skośność spada z 2,076 na 0,341, czyli z „silnie skośny" na „w przybliżeniu symetryczny". A korelacja rośnie z 0,851 na 0,993.

Wszystkie trzy liczby zmieniają się drastycznie, tylko każda w innym kierunku i z innego powodu. Korelacja rośnie, bo ta jedna osoba psuła liniowość. Skośność i kurtoza spadają, bo to ona była całym ogonem.

Nie ma tu morału w stylu „usuwaj odstające". Ta osoba istnieje i jej pensja jest prawdziwa. Morał jest taki, że przy dwunastu obserwacjach każda z tych trzech liczb wisi na jednym rekordzie i warto o tym wiedzieć, zanim się je wpisze do prezentacji.

Ten sam kształt, korelacja z minusem

Teraz odwrotny eksperyment, i to on jest ciekawszy. Nie ruszamy ani jednej pensji. Bierzemy dokładnie te same dwanaście liczb i tylko przypisujemy je innym ludziom: 14 500 dostaje osoba z rocznym stażem, a 3800 osoba z dwunastoletnim. Reszta zostaje bez zmian.

Rozkład wynagrodzeń w zespole jest identyczny, co do złotówki. Ta sama średnia, ta sama mediana, to samo odchylenie standardowe.

Skośność: 2,076. Bez zmian.

Kurtoza: 5,310. Bez zmian.

Korelacja: -0,167. Ujemna, nikła i nieistotna statystycznie.

Z „silnego, istotnego związku między stażem a pensją" nie zostaje nic. A żaden z kalkulatorów kształtu nawet nie zauważył, że coś się stało, bo skośność i kurtoza liczą się na jednej serii i kolejność nie ma dla nich znaczenia. Kalkulator skośności mówi o tym wprost w podpowiedzi przy polu: „Kolejność nie ma znaczenia".

To domyka obraz z obu stron. Ta sama korelacja przy dwóch różnych kształtach, i ten sam kształt przy dwóch skrajnie różnych korelacjach. Te miary opisują rozłączne rzeczy i żadna nie zastąpi drugiej.

Czego te trzy liczby nie powiedzą

Kilka ograniczeń, które warto trzymać z tyłu głowy, bo kalkulatory wypisują je w stopkach, a stopki się pomija.

Korelacja nie orzeka o przyczynie. Obie zmienne mogą zależeć od trzeciej, nieuwzględnionej w rachunku, i wtedy związek jest prawdziwy, ale wniosek fałszywy. Przy stażu i pensji podejrzanym trzecim czynnikiem jest po prostu stanowisko.

Pearson mierzy wyłącznie zależność liniową. Wartość bliska zeru nie wyklucza silnego związku o innym kształcie, na przykład parabolicznego. Zdarza się to w danych, gdzie coś rośnie do pewnego momentu, a potem spada.

Przedział ufności policzono transformacją z Fishera, która zakłada w przybliżeniu dwuwymiarowy rozkład normalny. W zespole B ten warunek jest naruszony, i to widocznie, bo z dla kurtozy wynosi 4,31. Przedział od 0,54 do 0,96 jest więc w zespole A wiarygodniejszy niż w zespole B, mimo że kalkulator wypisuje ten sam.

Błąd standardowy skośności i kurtozy też liczy się ze wzorów zakładających normalność. Przy grubych ogonach zaniża on niepewność, czyli działa akurat wtedy, kiedy najbardziej byśmy chcieli, żeby był ostrożny.

Którą liczbę czytać i kiedy

Nie ma jednej odpowiedzi, jest kilka konkretnych sytuacji.

Praktycznie sprowadza się to do jednego nawyku. Zanim zaraportujesz współczynnik korelacji, policz skośność i kurtozę obu zmiennych. To dwie dodatkowe minuty, a rozstrzyga, czy patrzysz na zespół A czy na zespół B.

Najczęstsze pytania

Czy skośność 2 to dużo?

Tak, i to dwa razy powyżej progu. Kalkulator dzieli skalę na trzy przedziały wartości bezwzględnej: poniżej 0,5 rozkład jest w przybliżeniu symetryczny, od 0,5 do 1 umiarkowanie skośny, powyżej 1 silnie skośny. Wynik 2,076 leży dwukrotnie powyżej granicy silnej asymetrii. Sam próg to jednak konwencja, a rozstrzyga porównanie z błędem standardowym.

Dlaczego arkusz kalkulacyjny pokazuje inną skośność niż podręcznik?

Bo liczą dwie różne rzeczy. Funkcja SKOŚNOŚĆ w arkuszu zwraca G1, czyli estymator z korektą dla próby, a wiele podręczników podaje g1, czyli surowy iloraz momentów. Dla zespołu B to 2,076 wobec 1,807, czyli różnica piętnastu procent na tej samej serii. Kalkulator pokazuje obie wartości obok siebie i pozwala wybrać, która ma trafić do kafelka głównego.

Ile obserwacji potrzeba, żeby kurtoza cokolwiek znaczyła?

Praktycznie co najmniej dwadzieścia, a spokojnie dopiero powyżej pięćdziesięciu. Przy dwunastu obserwacjach błąd standardowy kurtozy wynosi 1,232, czyli więcej niż niejeden wynik, który ma opisywać. Miara podnosi odchylenia do czwartej potęgi, więc jest znacznie bardziej łakoma na dane niż średnia czy odchylenie.

Czy kurtoza może być ujemna?

Kurtoza nadwyżkowa tak, i oznacza wtedy ogony lżejsze niż w rozkładzie normalnym. Zespół A ma -0,614, a rozkład jednostajny ma -1,200. Kurtoza nadwyżkowa populacyjna nie schodzi jednak poniżej -2, bo tyle wynosi dla rozkładu dwupunktowego o równych licznościach i jest to matematyczna granica dolna. Estymator z korektą dla próby tej granicy nie respektuje i przy małych, silnie dwumodalnych zbiorach potrafi zejść niżej.

Czy jedna wartość odstająca może odwrócić znak korelacji?

Może, i nie potrzeba do tego żadnej sztuczki. W przykładzie wyżej przeniesienie tej samej pensji 14 500 z osoby o najdłuższym stażu na osobę o najkrótszym zmienia r z 0,851 na -0,167, czyli z silnej dodatniej i istotnej na nikłą ujemną i nieistotną. Wszystkie pozostałe jedenaście par zostaje bez zmian.

Skośność kwartylowa czy momentowa, którą wpisać do raportu?

Najlepiej obie, bo odpowiadają na inne pytanie. Momentowa G1 obejmuje wszystkie obserwacje i wyłapuje ogon. Kwartylowa Bowleya patrzy tylko na kwartyle i opisuje asymetrię środka rozkładu. W zespole B pierwsza daje 2,076, druga 0,086, a ta różnica sama w sobie jest informacją: środek jest symetryczny, wyłamuje się brzeg.

Co znaczy, że korelacja jest istotna, ale przedział ufności sięga od 0,54 do 0,96?

Że kierunek związku jest pewny, a jego siła już nie. Zero leży poza przedziałem, więc związek na pewno istnieje. Ale sam przedział rozciąga się od korelacji umiarkowanej do niemal idealnej i przy dwunastu parach obserwacji węższy nie będzie. Szerokość przedziału maleje z liczbą obserwacji, nie z siłą związku.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator Korelacji Pearsona - liczy współczynnik r dla dwóch sparowanych serii, podaje wartość p, statystykę t i przedział ufności metodą Fishera, wraz z oceną siły w skali Guilforda i Cohena. Zobacz kalkulator

Kalkulator Skośności Rozkładu - podaje cztery miary asymetrii naraz: g1, G1, skośność kwartylową Bowleya i drugi współczynnik Pearsona, z testem istotności wobec błędu standardowego. Zobacz kalkulator

Kalkulator Kurtozy - liczy kurtozę klasyczną i nadwyżkową, w wersji populacyjnej i z korektą dla próby, i ustawia wynik na tle rozkładów odniesienia od jednostajnego po wykładniczy. Zobacz kalkulator

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Percentyla - pozycja wartości we własnym zbiorze danych, trzema metodami wyznaczania. Zobacz kalkulator

Kalkulator Współczynnika Zmienności - rozrzut w procentach średniej, do porównywania zbiorów o różnej skali. Zobacz kalkulator

Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego - IQR, ogrodzenia 1,5 i 3 IQR oraz lista obserwacji odstających. Przy zespole B to on wskaże tę jedną wypłatę. Zobacz kalkulator

Kalkulator Mody i Dominanty - wartość najczęstsza, dla danych liczbowych i tekstowych, z rozpoznaniem rozkładów wielomodalnych. Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Wilcoxona - test nieparametryczny dla par, przydatny właśnie wtedy, gdy skośność i kurtoza wykluczają test parametryczny. Zobacz kalkulator

Kalkulator Testu Fishera - dokładny test niezależności dla tabel dwa na dwa, bez założeń o rozkładzie. Zobacz kalkulator