Z-score - z na percentyl

Z-score, czyli ile odchyleń dzieli wynik od średniej

Iloraz inteligencji 130 w skali o średniej 100 i odchyleniu 15 to z = 2,00: wynik leży dwa odchylenia standardowe nad średnią, a w rozkładzie normalnym niższy ma 97,7 % osób. Tak działa każdy z czterech trybów tego kalkulatora: sprowadza wynik z dowolnej skali do wspólnej miary odległości od średniej, zamienia ją na percentyl albo liczy w drugą stronę, od procentu do wartości z. Tryb serii robi to dla całego zbioru naraz i wskazuje wartości, które odstają.

Szybki start. Znasz średnią i odchylenie, na przykład z opisu testu: tryb pierwszy. Masz surowe dane: tryb serii. Masz gotowe z i szukasz procentu: tryb trzeci. Szukasz wartości z dla 95 % albo 99 %: tryb czwarty, który od razu podaje wersję jednostronną i dwustronną.

Wynik standaryzowany krok po kroku

Co chcesz policzyć - wybór trybu decyduje, które pola się pokażą.
Wartość, średnia i odchylenie standardowe - w trybie pierwszym. Średnią i odchylenie bierzesz z opisu testu, normy albo z własnych danych. Odchylenie musi być większe od zera.
Seria danych i rodzaj odchylenia - w trybie serii. Odchylenie z próby dzieli przez n - 1 i pasuje, gdy dane są wycinkiem większej całości. Odchylenie populacji dzieli przez n i pasuje, gdy masz komplet.
Wartość z albo procent - w dwóch pozostałych trybach. Z może być ujemne, procent musi leżeć między 0 a 100.
Odczytaj wyniki - wartość z z opisem odległości, percentyl, odsetek wyników wyższych i tabelę tego samego rozkładu dla z od -3 do 3. W trybie serii dostajesz z dla każdej liczby, a te z |z| od 2 wzwyż są zaznaczone na czerwono.

Siedem przypadków z liczbami

Przykład 1: dwa sprawdziany w różnych skalach

Sytuacja: matematyka 78 pkt przy średniej 65 i odchyleniu 10, polski 34 pkt przy średniej 30 i odchyleniu 3.
Wynik: matematyka z = 1,30 (percentyl 90,3 %), polski z = 1,33 (percentyl 90,9 %).
Trzynaście punktów przewagi wygląda na więcej niż cztery, ale względem klasy wynik z polskiego jest odrobinę lepszy.

Przykład 2: wzrost na tle rówieśników

Sytuacja: 180 cm przy średniej 172 cm i odchyleniu 7 cm.
Wynik: z = 1,14, percentyl 87,3 %, wyższych jest 12,7 %.
Średnią i odchylenie wpisz z tabel dla właściwej grupy wieku i płci, inaczej porównanie traci sens.

Przykład 3: kontrola wagi opakowania

Sytuacja: opakowanie waży 492 g, linia pakuje średnio 500 g z odchyleniem 3 g.
Wynik: z = -2,67, wynik nietypowy, lżejszych opakowań jest tylko 0,38 %.
Pojedyncze takie opakowanie to jeszcze nie alarm. Kilka z rzędu sugeruje, że średnia linii się przesunęła.

Przykład 4: czas dostawy, który odstaje

Sytuacja: dwanaście dostaw w minutach: 38 42 35 40 44 39 41 37 43 72 40 36, odchylenie z próby.
Wynik: średnia 42,25, odchylenie 9,7619, dostawa 72 minuty ma z = 3,05 i jako jedyna przekracza 2.
Ta jedna wartość sama zawyża odchylenie. Bez niej pozostałe jedenaście dostaw mieści się w wąskim paśmie od 35 do 44 minut.

Przykład 5: iloraz inteligencji 130

Sytuacja: wynik 130, średnia 100, odchylenie 15.
Wynik: z = 2,00, percentyl 97,7 %, wyższy wynik ma 2,3 % osób.
Tabela w wyniku podaje od razu progi tej skali: z = 1 to 115 punktów, z = 3 to 145.

Przykład 6: z = 1,96 zamienione na procent

Sytuacja: tryb trzeci, 1,96.
Wynik: poniżej leży 97,5 % rozkładu, między -1,96 a 1,96 dokładnie 95,0 %, poza tym przedziałem 5,0 %.
Stąd bierze się 1,96 w każdym przedziale ufności 95 %.

Przykład 7: wartość z dla 90 %

Sytuacja: tryb czwarty, 90.
Wynik: jednostronnie z = 1,282, dla przedziału dwustronnego z = 1,645.
Dwie liczby odpowiadają na dwa różne pytania i właśnie ich pomylenie jest najczęstszym błędem przy korzystaniu z tablic.

Tabela: z, percentyl i odsetek w przedziale

Wartości dla standardowego rozkładu normalnego. Dla ujemnego z kolumny „poniżej" i „powyżej" zamieniają się miejscami, a przedział od -z do z pozostaje ten sam.

z	Poniżej z	Powyżej z	Między -z a z
0,5	69,1 %	30,9 %	38,3 %
1	84,1 %	15,9 %	68,3 %
1,5	93,3 %	6,7 %	86,6 %
2	97,7 %	2,3 %	95,4 %
2,5	99,38 %	0,62 %	98,8 %
3	99,87 %	0,13 %	99,73 %

Stąd biorą się popularne skróty: w odległości jednego odchylenia od średniej mieści się około 68 % wyników, dwóch około 95 %, a trzech 99,7 %. Działają tylko przy rozkładzie zbliżonym do normalnego.

Najczęstsze pytania o wynik standaryzowany

Czym percentyl z tego kalkulatora różni się od percentyla z danych?

Tutaj percentyl wynika z rozkładu normalnego: zakłada, że wyniki układają się w dzwon o podanej średniej i odchyleniu. Kalkulator percentyla liczy go wprost z Twoich liczb, bez żadnego założenia o kształcie. Przy danych normalnych oba podejścia dają podobny wynik, przy skośnych potrafią się wyraźnie rozjechać.

Odchylenie z próby czy populacji?

Z próby, gdy dane są wycinkiem większej całości, populacji, gdy masz komplet. Różnica bywa zauważalna w krótkich seriach: dla liczb 2 4 4 4 5 5 7 9 wartość 9 ma z = 2,00 przy odchyleniu populacji (2) i z = 1,87 przy odchyleniu z próby (2,1381). Arkusze kalkulacyjne i biblioteki programistyczne przyjmują różne domyślne ustawienia, więc warto wiedzieć, które z nich stoi za porównywanym wynikiem.

Od jakiego z wartość jest odstająca?

Najczęstsza umowa to |z| powyżej 2 dla wartości nietypowej i powyżej 3 dla skrajnej. W krótkich seriach druga granica bywa nieosiągalna. Wartość skrajna sama podnosi odchylenie, więc przy odchyleniu z próby |z| nie może przekroczyć (n - 1)/√n. Dla 10 liczb to 2,85: dziewięć zer i jedna dziesiątka daje dokładnie tyle, choć dziesiątka odstaje w oczywisty sposób.

Czy z-score ma sens, gdy dane nie mają rozkładu normalnego?

Sama wartość z tak, bo zawsze mówi, o ile odchyleń wynik leży od średniej. Przeliczenie na procenty już nie, bo korzysta z kształtu dzwonu. Przy wyraźnej asymetrii, którą pokaże kalkulator skośności, lepiej oprzeć się na percentylu liczonym z danych.

Jak zamienić z z powrotem na wynik w oryginalnej skali?

Wynik = średnia + z · odchylenie. W skali IQ z = 1 to 100 + 15 = 115, a z = -2 to 70. Kalkulator robi to sam w tabeli pod wynikiem, dla z od -3 do 3 i dla Twojej wartości.