Średnia, mediana czy moda - i kiedy IQR bije odchylenie

Jedenaście wypłat w jednym zespole: 4200, 4200, 4200, 4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 6200, 7000 i 24000 zł.

Pytanie brzmi: ile zarabia się w tym zespole? Średnia arytmetyczna odpowiada 6800 zł. Mediana odpowiada 5000 zł. Moda, czyli wartość, która pada najczęściej, odpowiada 4200 zł.

Trzy liczby, jeden zestaw danych, zero błędów rachunkowych. Różnica między skrajnymi odpowiedziami wynosi 2600 zł, czyli ponad sześćdziesiąt procent najniższej z nich. I to nie jest ciekawostka dla statystyków. To jest powód, dla którego ta sama tabela w dwóch raportach potrafi dowodzić dwóch przeciwnych tez.

Skąd biorą się trzy różne odpowiedzi

Każda z tych miar odpowiada na trochę inne pytanie, choć wszystkie trzy nazywamy zbiorczo miarami tendencji centralnej.

Średnia pyta: jak podzielilibyśmy pieniądze, gdyby wszyscy zarabiali tyle samo. Mediana pyta: co zarabia osoba stojąca dokładnie w środku szeregu. Moda pyta: jaka kwota pojawia się na liście najczęściej. W zespole z jednym prezesem na dwudziestokrotności to są trzy zupełnie inne pytania.

Kalkulator mody pokazuje tu jeszcze jedną rzecz, którą łatwo przeoczyć: 27,3 procent zbioru to jedna wartość. Trzy osoby z jedenastu zarabiają dokładnie 4200 zł. Prawdopodobnie to stawka wejściowa albo minimalna. Średnia o tym nie powie ani słowa.

Układ trzech miar sam w sobie jest informacją. Kiedy średnia leży powyżej mediany, a mediana powyżej mody, rozkład jest skośny prawostronnie, czyli ma ogon w stronę wysokich wartości. Kilka dużych liczb ciągnie średnią w górę, a reszta zbioru zostaje na dole. Dokładnie ten układ mamy tutaj: 4200 < 5000 < 6800.

Miary klasyczne kontra odporne: tabela główna

Statystyka opisowa dzieli się w praktyce na dwa obozy. Pierwszy to średnia i odchylenie standardowe, czyli komplet, którego uczy się w szkole i który domyślnie zwraca każdy arkusz kalkulacyjny. Drugi to mediana, rozstęp międzykwartylowy i moda, czyli miary odporne, po angielsku robust.

Kluczowy jest drugi wiersz. Wyrzuciliśmy z zestawu jedną obserwację, tę na 24000 zł, i policzyliśmy wszystko od nowa. Odchylenie standardowe spadło z 5773,2 na 935,5, czyli o 83,8 procent. Rozstęp międzykwartylowy spadł z 1500 na 1150, czyli o 23,3 procent.

To jest cała różnica między obiema szkołami, wyrażona jedną parą liczb. Nie chodzi o to, że odchylenie standardowe jest gorsze. Chodzi o to, że mierzy coś innego i reaguje inaczej.

Kiedy wygrywa średnia i odchylenie standardowe

Zestaw kontrolny: czasy dziesięciu biegaczy na pięciu kilometrach, w minutach. 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 30, 31, 32.

Tutaj średnia wynosi 28,6 minuty, mediana 28,0, moda też 28. Trzy miary mieszczą się w przedziale sześciu dziesiątych minuty. Odchylenie standardowe to 1,9, rozstęp międzykwartylowy 2,5. Kalkulator IQR sprawdził ogrodzenia i nie znalazł ani jednej wartości odstającej: wszystko mieści się między 23,5 a 33,5 minuty.

Przy takim zestawie spór o miarę jest sporem o nic. I to jest pierwsza sytuacja, w której średnia wygrywa: gdy nie ma odstających, wszystkie miary mówią to samo, a średnia jest po prostu wygodniejsza, bo każdy ją rozumie i każde narzędzie ją liczy.

Drugi przypadek to sytuacje, w których suma naprawdę ma znaczenie. Budżet, magazyn, zużycie prądu, liczba przejechanych kilometrów. Jeżeli mnożysz wynik przez liczbę obserwacji i chcesz dostać poprawną sumę, musisz użyć średniej. Mediana pomnożona przez liczbę pracowników nie da funduszu płac. Średnia da, i to co do złotówki.

Trzeci przypadek to wejście do dalszej analizy. Test t, przedziały ufności, analiza wariancji, regresja liniowa. Cała ta maszyneria stoi na średniej i wariancji. Jeśli planujesz testować hipotezy, na przykład testem Wilcoxona albo testem Fishera, i tak wcześniej opisujesz dane obiema szkołami naraz.

Kiedy wygrywają mediana i rozstęp międzykwartylowy

Wracamy do wynagrodzeń. Ten sam zestaw, ale patrzymy na rozproszenie, nie na środek.

Odchylenie standardowe wynosi 5773,2 zł. Weź je dosłownie, a wyjdzie, że typowe odchylenie od średniej jest większe niż całe wynagrodzenie ośmiu osób z jedenastu. To zdanie nie ma sensu, a mimo to taka liczba trafia do raportów.

Rozstęp międzykwartylowy wynosi 1500 zł, bo pierwszy kwartyl to 4350, a trzeci 5850. Czyta się to prosto: środkowa połowa zespołu mieści się w przedziale półtora tysiąca złotych. To jest zdanie, które da się powiedzieć na zebraniu i nikt nie zapyta, co ono znaczy.

Kiedy więc przechodzić na miary odporne?

Po pierwsze, gdy w danych są wartości odstające i nie chcesz ich usuwać. Ceny mieszkań, wynagrodzenia, czasy odpowiedzi serwera, długość wizyty u lekarza. Wszędzie tam ogon w prawo jest cechą zjawiska, a nie błędem pomiaru.

Po drugie, gdy zbiór jest mały. Przy jedenastu obserwacjach jedna liczba stanowi ponad dziewięć procent zbioru, a średnia odczuwa ją w pełni. Mediana potrzebowałaby aż sześciu takich wyskoków, żeby drgnąć.

Po trzecie, gdy raport ma być odporny na czepianie się. Mediana i kwartyle to konkretne obserwacje albo punkty między nimi. Trudniej je podważyć niż liczbę, którą jedna zmiana potrafi ruszyć o osiemdziesiąt trzy procent.

Skąd wiadomo, że coś jest odstające

Kwota 24000 zł wygląda na odstającą na oko. Ale "na oko" to nie jest kryterium, więc statystyka ma na to regułę, i to bardzo starą, autorstwa Johna Tukeya.

Bierzesz IQR, mnożysz przez 1,5 i odkładasz w obie strony od kwartyli. Wszystko poza tym ogrodzeniem to wartość odstająca. Przy mnożniku 3,0 mówimy o wartości skrajnej.

Wynagrodzenie 24000 zł przekracza obie granice, więc jest nie tylko odstające, ale i skrajne. Zwróć uwagę na dolną granicę przy mnożniku 3,0: wychodzi -150 zł. Reguła nie wie, że pensja nie bywa ujemna, bo jest czysto arytmetyczna. Przy zmiennych, które z natury nie schodzą poniżej zera, dolne ogrodzenie zwykle nie ma zastosowania i to normalne.

Druga rzecz, znacznie ważniejsza. Odstająca nie znaczy błędna. Prezes naprawdę zarabia 24000 zł, ta liczba nie jest literówką. Reguła Tukeya wskazuje obserwacje do sprawdzenia, a nie do skasowania. Kasowanie danych, bo psują wykres, to najkrótsza droga do raportu, który opisuje wygodną fikcję.

Moda, o której wszyscy zapominają

Moda ma w polskiej edukacji status ciekawostki wymienianej po średniej i medianie. Niesłusznie, bo są zbiory, w których jest jedyną miarą, która cokolwiek znaczy.

Sklep sprzedał jedenaście par butów w rozmiarach: 38, 38, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 43, 43, 44.

Średnia wynosi 40,8, mediana 41. Obie wskazują rozmiar 41, którego sprzedała się dokładnie jedna para. Kalkulator mody pokazuje co innego: rozkład jest dwumodalny, z dwoma szczytami po trzy pary, na rozmiarach 38 i 43.

Sprzedaż damska i męska w jednej tabeli. Uśrednienie ich daje rozmiar, którego prawie nikt nie kupuje. To jest dokładnie ta sytuacja, w której średnia jest policzona bezbłędnie i jednocześnie prowadzi do złej decyzji zakupowej.

Jest jeszcze druga przewaga mody, o której warto pamiętać. Jako jedyna działa na danych, które nie są liczbami. Weź powody zwrotów z dziesięciu formularzy: rozmiar, rozmiar, jakość, rozmiar, dostawa, rozmiar, jakość, opis, rozmiar, dostawa. Mediana i średnia nie mają tu żadnego sensu, bo nie da się uszeregować słów od najmniejszego do największego. Moda ma: rozmiar, pięć wystąpień, 50 procent wszystkich zwrotów. Na skali nominalnej to jedyna dopuszczalna miara tendencji centralnej.

Werdykt, ale bez uniwersalnej odpowiedzi

Nie ma jednej dobrej miary. Jest miara dopasowana do pytania i do kształtu rozkładu, więc kolejność jest taka: najpierw sprawdzasz, czy masz odstające i ile jest szczytów, a dopiero potem wybierasz liczbę do raportu.

Ostatni wiersz wymaga komentarza. Kwartyle nie mają jednej definicji. Kalkulator IQR obsługuje trzy konwencje: interpolację typu 7, czyli tę z Excela, Arkuszy Google i R, metodę Tukeya z połówkami bez mediany oraz wariant podręcznikowy z medianą w obu połówkach. Na dużym zbiorze różnice są kosmetyczne. Na dziesięciu obserwacjach potrafią zmienić Q1 o kilka procent, więc przy porównywaniu wyniku z arkuszem sprawdź najpierw, której konwencji używa druga strona.

Czego żadna z tych liczb nie powie

Statystyka opisowa opisuje. Nie tłumaczy i nie rozstrzyga.

Z tego, że mediana wynagrodzeń to 5000 zł, nie wynika, że jest sprawiedliwie. Z tego, że rozkład jest dwumodalny, nie wynika, dlaczego. A z tego, że jedna wartość leży poza ogrodzeniem Tukeya, nie wynika, że jest błędna, o czym już było, ale to warto powtórzyć, bo to najczęstsze nadużycie w tej okolicy.

I jeszcze jedno. Wszystkie liczby w tym artykule pochodzą z zestawów po dziesięć i jedenaście obserwacji. To wystarczy, żeby pokazać mechanizm, ale za mało, żeby cokolwiek uogólniać. Pytanie "czy ta różnica jest prawdziwa, czy przypadkowa" to już inna półka i inne narzędzia, opisane szerzej w artykule o testach Fishera i Wilcoxona.

Zacznij od opisu. Policz obie szkoły naraz, zobacz, czy dają zbieżne odpowiedzi, i dopiero wtedy zdecyduj, którą liczbę wpisujesz do raportu. Jeśli się rozjeżdżają, to sam rozjazd jest najciekawszą informacją, jaką masz.

Narzędzia omawiane w tym artykule

Kalkulator Rozstępu Międzykwartylowego - liczy Q1, medianę i Q3 trzema konwencjami, podaje IQR, ogrodzenia Tukeya przy mnożniku 1,5 i 3,0, wypisuje wartości odstające i pokazuje, o ile zmienia się odchylenie standardowe, a o ile IQR po ich usunięciu.

Kalkulator Mody i Dominanty - wyznacza modę dla danych liczbowych i tekstowych, rozpoznaje rozkłady jedno, dwu i wielomodalne oraz amodalne, buduje tabelę częstości i zestawia modę z medianą i średnią.

Więcej narzędzi z kategorii Statystyka

Kalkulator Testu Fishera · Kalkulator Testu Wilcoxona