Wahadło, sprężyna Hooke'a i drgania harmoniczne

"Wahadło nie zależy od masy." Ta fraza pojawia się w każdym podręczniku fizyki do liceum, zwykle gdzieś koło strony 120. Uczeń słysząc ją po raz pierwszy ma prawo zareagować sceptycznie. Bo jak to - cięższy przedmiot wiszący na sznurku wacha się dokładnie tak samo jak lżejszy? Na Księżycu też? A co ze sprężyną - tam masa już ma znaczenie?

Tak. I właśnie ta różnica - masa w wahadle nie wpływa, w sprężynie wpływa - jest jednym z najczęściej mylonych zagadnień na maturze z fizyki. Rozwikłajmy to liczbami.

Ile trwa jedno wahnięcie? Wzór T=2pi*sqrt(L/g)

Okres wahadła prostego zależy od dokładnie dwóch wielkości: długości nici L i przyspieszenia grawitacyjnego g. Masy w tym wzorze nie ma. Punkt.

Dla wahadła o długości 1 metra na Ziemi (g = 9,81 m/s2):

T = 2pi * sqrt(1 / 9,81) = 2pi * 0,3193 = 2,006 s

Częstotliwość: 0,4985 Hz. Prawie dokładnie 30 wahnięć na minutę.

A co gdyby przenieść to samo wahadło na inną planetę?

Na Księżycu to samo wahadło wacha się ponad 2,4 razy wolniej. Na Jowiszu - prawie 1,6 razy szybciej. Na Słońcu (teoretycznie, bo powierzchnia ma 5 500 stopni C) - jedno wahnięcie trwa niecałe 0,38 sekundy. Wszystko przez g.

Ile powinno mieć wahadło, żeby jego okres wynosił dokładnie 1 sekundę? To tak zwane wahadło sekundowe. Odpowiedź: 24,8 cm (0,2485 m) przy ziemskim g. Kalkulator okresu wahadła podaje tę wartość automatycznie po każdym obliczeniu.

Sprężyna Hooke'a - tu masa już gra rolę

Prawo Hooke'a mówi: F = k * x. Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do odkształcenia. Stała k wyrażona w N/m mówi, ile niutonów potrzeba, żeby rozciągnąć lub ścisnąć sprężynę o 1 metr.

Przykład. Sprężyna o stałej k = 200 N/m ściśnięta o 5 cm (0,05 m):

• Siła: F = 200 * 0,05 = 10 N
• Energia potencjalna: Ep = 0,5 * 200 * 0,05^2 = 0,25 J

Ale co się stanie, jak podwoimy ściśnięcie do 10 cm?

• Siła: F = 200 * 0,10 = 20 N (podwoiła się - liniowa zależność)
• Energia: Ep = 0,5 * 200 * 0,10^2 = 1,00 J (wzrosła czterokrotnie!)

To kwadratowa zależność energii od odkształcenia i jeden z najczęstszych błędów rachunkowych na egzaminie. Uczniowie liczą energię liniowo - "2x więcej odkształcenia = 2x więcej energii" - i dostają połowę poprawnej wartości.

Jak duże są te siły w praktyce? Kalkulator sprężyny Hooke'a porównuje tę samą siłę w różnych sprężynach:

Ta sama siła 10 N ściska sprężynę długopisu o 10 cm, ale sprężynę zawieszenia auta o niecałe pół milimetra. Różnica wynika wyłącznie ze stałej k. W zawieszeniu samochodu k sięga 25 000-50 000 N/m, bo musi utrzymać tonę stali jadącą po dziurach.

I teraz kluczowa różnica względem wahadła. Jeżeli na sprężynę zawiesimy ciężarek o masie 0,5 kg, zacznie on drgać z okresem:

T = 2pi * sqrt(m/k) = 2pi * sqrt(0,5/200) = 0,3142 s

Masa jest we wzorze. Cięższy przedmiot na tej samej sprężynie drga wolniej. To fundamentalna różnica: w wahadle masa się skraca (bo ta sama masa pojawia się w sile ciężkości i w bezwładności), w sprężynie - nie. Bezwładność zostaje, a siła sprężystości nie zależy od masy.

Drgania harmoniczne - pełny obraz ruchu

Wahadło i sprężyna to dwa przykłady ruchu harmonicznego prostego (RHP). Ogólny wzór na położenie w chwili t:

x(t) = A * sin(omega*t + phi)

Gdzie A to amplituda (max wychylenie), omega = 2pi/T to pulsacja, a phi to faza początkowa.

Weźmy drganie o amplitudzie 0,1 m i okresie 2 s, startujące z położenia równowagi (phi = 0). Co się dzieje w poszczególnych momentach cyklu?

Widać tu wyraźnie: prędkość i położenie są przesunięte o ćwierć okresu. Kiedy ciało jest w skrajnym wychyleniu (x = A lub x = -A), prędkość wynosi zero - ciało zatrzymuje się na ułamek sekundy. Kiedy przechodzi przez położenie równowagi (x = 0), prędkość jest maksymalna: 0,3142 m/s.

Przyspieszenie zachowuje się odwrotnie do położenia. W położeniu równowagi a = 0. W skrajnym wychyleniu a ma wartość maksymalną, ale skierowaną ku środkowi - stąd znak minus. To jest istota RHP: przyspieszenie zawsze ciągnie ciało z powrotem do równowagi.

Energia w ruchu harmonicznym - skąd się bierze i dokąd znika?

W tabeli powyżej kolumna "Ep / Ek" zdradza coś ważnego. Całkowita energia drgania nie zmienia się - zmienia się tylko jej rozkład między energię potencjalną a kinetyczną.

W chwili t = 0 ciało jest w położeniu równowagi: 100% energii to energia kinetyczna (prędkość maksymalna). Ćwierć okresu później ciało jest w skrajnym wychyleniu: 100% energii to energia potencjalna (prędkość zero). I tak w kółko - Ep zamienia się w Ek i z powrotem, 2 razy na każdy okres.

W dowolnej chwili pośredniej energia dzieli się proporcjonalnie do kwadratu wychylenia. Przy 70% max wychylenia: Ep = 49%, Ek = 51%. Kalkulator drgań harmonicznych pokazuje ten rozkład jako pasek Ep/Ek i interpretuje, czy ciało jest bliżej równowagi czy skrajnego wychylenia.

Można to policzyć dla dowolnej chwili. Chcesz wiedzieć, co się dzieje w chwili t = 0,7 s? Wpisujesz okres, amplitudę, fazę i czas - kalkulator podaje położenie, prędkość, przyspieszenie i procentowy rozkład energii. Na maturze oszczędza to kilka minut obliczeń.

Wahadło sekundowe - ile ma centymetrów?

Wahadło sekundowe to takie, którego okres wynosi dokładnie 1 sekundę. Przekształcamy wzór:

L = g * T^2 / (4 * pi^2) = 9,81 * 1 / 39,478 = 0,2485 m = 24,8 cm

Wahadło sekundowe na Ziemi ma nieco poniżej 25 cm. Na Księżycu to samo wahadło sekundowe musiałoby mieć zaledwie 4,1 cm (bo g = 1,62 m/s2). Na Jowiszu - 62,8 cm.

To nie jest czysta ciekawostka. Historycznie metr definiowano właśnie na podstawie wahadła sekundowego - miał być długością wahadła o półokresie równym 1 sekundzie (co daje T = 2 s, a to wahadło o długości około 1 m). Definicja się nie przyjęła, ale związek długości wahadła z sekundą pozostał w fizyce jako punkt odniesienia.

A co jeśli wahadło wychyli się za mocno?

Wzór T = 2pi*sqrt(L/g) jest dokładny tylko dla małych wychyleń (do około 15 stopni). Przy większych kątach okres rośnie - wahadło wychylone o 45 stopni ma okres o około 4% dłuższy niż przewiduje uproszczony wzór. Przy 90 stopniach różnica sięga 18%.

W praktyce większość wahadeł laboratoryjnych pracuje w zakresie 5-10 stopni, więc wzór uproszczony daje dokładność lepszą niż 0,1%. Ale na maturze pytanie "dlaczego wahadło wychylone o duży kąt nie spełnia wzoru?" pojawia się regularnie.

Trzy zasady, które warto zapamiętać

1. Masa w wahadle - nie wpływa na okres. Wpływa długość nici i grawitacja. Na Księżycu to samo wahadło wacha się 2,4 razy wolniej.

2. Energia w sprężynie rośnie z kwadratem odkształcenia. 2x więcej ściśnięcia = 4x więcej energii. Siła rośnie liniowo (2x), ale energia - kwadratowo.

3. W ruchu harmonicznym prędkość i położenie są przesunięte o T/4. Gdy położenie jest maksymalne, prędkość jest zerowa. Gdy ciało przechodzi przez równowagę - prędkość jest maksymalna.

Narzędzia omawiane w tym artykule

• Kalkulator Okresu Wahadła - oblicza okres, częstotliwość i liczbę wahnięć na minutę dla wahadła prostego, z porównaniem między planetami i obliczeniem wahadła sekundowego
• Kalkulator Sprężyny Hooke'a - oblicza siłę sprężystości F=kx, energię potencjalną i okres drgań dla dowolnej sprężyny, z porównaniem "Przed i Po" podwojeniu odkształcenia
• Kalkulator Drgań Harmonicznych - podaje położenie, prędkość i przyspieszenie w dowolnej chwili cyklu, z tabelą stanów w kluczowych momentach i paskiem rozkładu energii Ep/Ek

Więcej narzędzi z kategorii Fizyka

• Kalkulator Pędu
• Kalkulator Przyspieszenia Ruchu
• Kalkulator Siły
• Kalkulator Energii Kinetycznej
• Kalkulator Energii Potencjalnej
• Kalkulator Pracy Mechanicznej
• Kalkulator Mocy Mechanicznej
• Kalkulator Momentu Siły
• Kalkulator Tarcia Kinetycznego

---

Sprawdź dla konkretnej długości

• Okres wahadła 1 m - wahadło zegarowe
• Okres wahadła 2 m - długie wahadło
• Energia kinetyczna 100 kg - ciało w ruchu